等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，数列$\{b_{n}\}$为等比数列，$S_{n}\text{=}n^{2}\text{+}n$，$b_{1}\text{=}a_{1}\text{,}b_{2}\text{=}\dfrac{a_{1}a_{2}}{2}\text{.}$求(1)数列$\{a_{n}\}$、$\{b_{n}\}$的通项公式；(2)数列$\{\dfrac{1}{S_{n}}\text{+}b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}.$

1. 由前 $n$ 项和 $S_n$ 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

当 $n = 1$ 时，$a_1 = S_1 = 1^2 + 1 = 2$。
当 $n \ge 2$ 时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + n) - [(n-1)^2 + (n-1)] = n^2 + n - (n^2 - n) = 2n$。
当 $n = 1$ 时，$2 \times 1 = 2 = a_1$，满足上式。
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 2n$。

2. 求等比数列 $\{b_n\}$ 的首项、公比及通项公式

由 $a_n = 2n$ 可得 $a_1 = 2$，$a_2 = 4$。
已知 $b_1 = a_1 = 2$，且 $b_2 = \dfrac{a_1 a_2}{2} = \dfrac{2 \times 4}{2} = 4$。
因为 $\{b_n\}$ 是等比数列，所以公比 $q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{4}{2} = 2$。
故数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n = 2 \times 2^{n-1} = 2^n$。

1. 将新数列的通项拆分为裂项部分与等比部分

由 (1) 可知 $S_n = n^2 + n = n(n+1)$，$b_n = 2^n$。
设 $c_n = \dfrac{1}{S_n} + b_n = \dfrac{1}{n(n+1)} + 2^n$。
利用裂项相消法，可将第一项改写为：$\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$。

2. 分别求和并合并得出 $T_n$

则数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ 为：
$T_n = \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} \right) + \sum_{k=1}^n 2^k$
第一部分为裂项相消求和：
$\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$
第二部分为等比数列求和：
$\dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$
相加得：
$T_n = \dfrac{n}{n+1} + 2^{n+1} - 2$