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等比数列与等比级数

有限等比数列的通项公式与求和公式。

这个知识点的练习题

  1. 1已知一个数列的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该数列是一个等差数列。 第 (a) 部分中数列的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比数列的前三个连续项，该等比数列的第 nn 项记为 vnv_n。求 mm…
  2. 2已知一个级数的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该级数的各项构成等差数列。 (a) 部分中该级数的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比级数的前三个连续项，且其第 nn 项由 vnv_n 给出。求 mm 的值…
  3. 3等比数列{an}\{a_{n}\}中，若a2a_{2}、a4a_{4}是方程2x2−11x+8=02x^{2}-11x+8=0的两根，则a3a_{3}的值为()(\quad) A. 22 B. ±2±2 C. 2\sqrt{2}…
  4. 4一个等差数列的前 100 项之和为 10,000。该数列的第一项、第二项和第五项构成一个等比数列的三个连续项。求该等差数列的首项和非零公差。
  5. 5数列 u1,u2,u3,…u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots 的前 nn 项和为 SnS_{n}，其中 Sn=∑r=1nurS_{n} = \sum_{r=1}^{n} u_{r}。已知 Sn=18−2n+13n−2S_{n} = 18 - \dfrac{2^{n+1}}{3^{n-2}}…
  6. 6用数学归纳法证明，对于所有正整数 nn 以及 x∈Rx\in\mathbb{R}，x≠0, x≠1x\ne 0,\ x\ne 1， 1x−1−1x−1x2−⋯−1xn=1xn(x−1) .\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\dots-\frac{1}{x^n}=\frac{1}{x^n(x-1)}\,.…
  7. 7等差数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，数列{bn}\{b_{n}\}为等比数列，Sn=n2+nS_{n}\text{=}n^{2}\text{+}n，b1=a1,b2=a1a22.b_{1}\text{=}a_{1}\text{,}b_{2}\text{=}\dfrac{a_{1}a_{2}}{2}\text{.}…
  8. 8已知一个数列满足 u0=2u_{0}=2 且对于 n≥1n\ge 1，有 un=un−1+n3+(12)nu_{n}=u_{n-1}+n^{3}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}。 (a) 已知 ∑r=1nr3=n2(n+1)24\displaystyle \sum_{r=1}^{n} r^{3} = \dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}…
  9. 9已知数列{an}\{a_{n}\}是一个首项为a1a_{1}，公比q>0q > 0的等比数列，前nn项和为SnS_{n}，记Tn=a1+a2+a3+…+a2n−1T_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{2n-1}，求lim⁡n→∞SnTn \lim\limits_{n→∞} \dfrac {S_{n}}{T_{n}}…
  10. 10已知数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，首项为a1a_{1}，且44，ana_{n}，SnS_{n}成等差数列． (1)求数列{an}\{a_{n}\}的通项公式； (2)若an2=2bna_{n}^{2}={{2}^{{{b}_{n}}}}…
  11. 11等差数列的首项为 aa，公差为 0.50.5，其中 aa 是一个整数。求 aa 的最小值，使得前 36 项的和至少为 500。 数列 u0,u1,u2,…u_0, u_1, u_2, \dots 的定义为： u0=400u_0 = 400 且当 n≥1n \ge 1…
  12. 12Anand 编写了一个计算机程序，用于在受控环境中模拟生物种群。假设在模拟期间没有生物死亡或离开该环境。 在模拟 A 中，第 1 天向环境中引入 200 个生物。在随后的每一天开始时，向环境中再引入 48 个生物。求在某天结束时，环境中的生…
  13. 13在上个月的第一天，一家制造厂内一台机器的温度被发现为 90∘C90^\circ\text{C}，主管认为该温度过高。每天，机器产生的废热作为副产品会导致机器温度上升 2∘C2^\circ\text{C}。为了降低温度，主管决定调整恒温器，并在每天…
  14. 14已知等比数列{an}(a1≠a2)\{a_{n}\}(a_{1}\neq a_{2})的公比为qq，且a7a_{7}，a1a_{1}，a4a_{4}成等差数列，则q=()q=() A. 11或−32- 32 B. −32- 32 …
  15. 15等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 aa 和 dd 均不为零。该等差数列的第一、第三和第七项是一个公比为 rr 的等比数列的三个连续正数项。 证明 r=2r=2。 等比数列的首项是该等差数列首项的十分之一。求最小的 nn…
  16. 16Aenicillin 是一种细菌，在培养皿中培养。其数量每六小时翻一番。将第一天开始时的 Aenicillin 数量记为 x0x_0： (a) 写出 xnx_n（n≥1n \ge 1）的递推关系，其中 xnx_n 为第 nn 天结束时培养皿…
  17. 17已知首项为11的数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，且an+1=13Sna_{n\text{+}1}\text{=}\dfrac{1}{3}S_{n}，数列{bn}\{b_{n}\}满足bn=log⁡3anb_{n}\text{=}\log_{3}a_{n}…
  18. 18记SnS_{n}为递增等比数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和，若a1a2a3=8a_{1}a_{2}a_{3}=8，a4=a3+4a_{4}=a_{3}+4，则S10S_{10}的值为 ___ .
  19. 19已知三个实数22，mm，88构成一个等比数列，则圆锥曲线x2m+y22=1 \dfrac {x^{2}}{m}+ \dfrac {y^{2}}{2}=1的离心率为()() A. 22 \dfrac { \sqrt {2}}{2}…
  20. 20一个有限数列 {an}\{a_n\} 有 50 项，且对于 n=1,2,3,…,49n = 1,2,3,\ldots,49，满足 an+1=an+0.15a_{n+1} = a_n + 0.15。 另一个无限数列 {bm}\{b_m\} 满足 b1=a50b_1 = a_{50}，且对于 m≥2m \ge 2…
  21. 21已知 f(r)=(r−2)2r−1f(r)=(r-2)2^{r-1}。证明 f(r+1)−f(r)=2rarf(r+1)-f(r)=2^r a r，其中 aa 是一个待确定的常数。 由此求出 ∑r=1nr2r\sum_{r=1}^n r2^r。 利用第 (ii) 部分的结果，用 nn 表示 ∑r=3n(r+2)2r\sum_{r=3}^n (r+2)2^r…
  22. 22一支自行车队计划在 10 天内从新加坡骑行到槟城并返回。从新加坡到槟城往返的路线距离为 1600 km。 艾利克斯（Alex）建议车队第一天骑行 120 km，之后每天增加 8 km 的骑行距离。证明车队无法在 10 天内完成该路线。 贝儿…
  23. 23已知在数列{an}\{a_{n}\}中，a1=1a_{1}=1，其前nn项和为sns_{n}，且an=2sn22sn−1(n⩾2)(1)a_{n}= \dfrac {2 s_{ n }^{ 2 }}{2s_{n}-1}(n\geqslant 2)(1)证明{1sn}\{ \dfrac {1}{s_{n}}\}…
  24. 24Betty 收到朋友发来的一条关于比特币（BTC）投资的短信，该投资保证每月有固定百分比的利息。Betty 点击了短信中的链接，发现该 BTC 投资为每位投资者开设了一个账户。每个月月底会向账户中加入利息，固定利率为月初账户内金额的 11%…
  25. 25Adam 和 Gregory 报名参加了马拉松比赛。为了准备这次马拉松，Adam 和 Gregory 各自制定了一个为期 15 周的个性化训练计划。Adam 在第 1 周的第一天跑了 2.4 km，在随后每周的第一天，所跑的距离比前一周增加…
  26. 26Jane 决定购买一套公寓。为了筹集购房资金，她打算申请 $847 500 的银行住房贷款，该贷款的月利率为 0.25%。从第二个月开始，在每个月的第一天对未偿还贷款计息。在整个贷款期限内，从第一个月开始，每个月的最后一天进行固定月还款…
  27. 27已知SnS_{n}为数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和，Sn=1−anS_{n}=1-a_{n}，则S5=()S_{5}=(\quad) A. 3116\dfrac{31}{16} B. 312\dfrac{31}{2} C.…
  28. 28通过将 2r(r2−1)\dfrac{2}{r(r^2-1)} 展开为部分分式，求 ∑r=2n2r(r2−1)\displaystyle\sum_{r=2}^{n}\dfrac{2}{r(r^2-1)} 的表达式。 某等比数列的首项为 aa，公比为 rr，其中 aa…
  29. 29树木学家是研究树木和木本植物的专业科学家。他们的工作多种多样，可以涵盖与树木鉴定、分类、生物学和生态学相关的各种活动。一组树木学家正在研究代号为“Vee树”（Tree Vee）和“Jay树”（Tree Jay）的两种树木的生长情况。…
  30. 30市民小张计划贷款6060万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当…
  31. 31在一项电脑模拟中，每位玩家使用一个完全相同的水桶，重复向各自指定的、初始为空的水箱中倒水。两位玩家 Chris 和 Elliot 参与了这项模拟，并按以下方式向各自的水箱中倒水： * Chris 第一次用水桶向水箱中倒入 5 升水。随后，他…
  32. 32设等比数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为Sn.S_{n}.若S2=3S_{2}=3，S4=15S_{4}=15，则S6=()S_{6}=(\quad) A. 31                  31\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  33. 33已知数列{an}\{a_{n}\}中，a1=1a_{1}=1，an⋅an+1=3na_{n}\boldsymbol{⋅}a_{n+1}=3^{n}，n∈N∗n\in N^{*}，则下列说法正确的是()(\quad) A. a4=9a_{4}=9 B…
  34. 34温迪（Wendie）参加训练以准备一场跑步比赛。在第一场训练中，她在恰好 5 分钟内跑了 1000 米的距离。对于之后的每一场训练，跑步的距离都比前一场多 x%x\%，且所花的时间比前一场多 1.5 分钟。 已知 x=8x = 8。 求她在第…
  35. 35已知数列{an}\{a_{n}\}的前nn项为和SnS_{n}，点(n,Snn)(n, \dfrac {S_{n}}{n})在直线y=12x+112y= \dfrac {1}{2}x+ \dfrac {11}{2}上.数列{bn}\{b_{n}\}…
  36. 36已知数列{an}\{a_{n}\}中，a1=1a_{1}=1，a2=2a_{2}=2，且an+1=4an−3an−1(n∈N∗,n⩾2)a_{n+1}=4a_{n}-3a_{n-1}(n∈N^{*},n\geqslant 2)． ((Ⅰ))令bn=an+1−anb_{n}=a_{n+1}-a_{n}…
  37. 37一个有限数列 {an}\{a_n\} 含有 50 项，且对于 n=1,2,3,…,49n = 1,2,3,\ldots,49，满足 an+1=an+0.15a_{n+1} = a_n + 0.15。 另一个无限数列 {bm}\{b_m\} 满足 b1=a50b_1 = a_{50} 且对于 m≥2m \ge 2…
  38. 38Selena 决定于 2025 年 1 月 1 日向银行贷款 $200 000 用于购房。在每个月的第一天，所欠金额将增加 0.5% 的利息，第一次计息时间为 2025 年 1 月 1 日。在每个月的最后一天，她向银行还款 $x，从 2…
  39. 39疾病的基本再生数（reproduction number）R0R_0 是一个数学术语，用于表示一种传染病的传播能力。它给出了每个患者平均传染的人数。如果该社区中没有人接种过该疾病的疫苗，或者没有人对该疾病具有免疫力，这种复制（传播）将会持续…
  40. 40一套特别的俄罗斯套娃由七个娃娃组成。这七个娃娃的高度呈等差数列，公差为 dd。如果最高的娃娃的高度是矮的最矮的娃娃高度的四倍，且这套娃娃中所有娃娃的高度之和为 70 cm，求 dd。 鲍勃从平台上走下，垂直下落，并在蹦床上反弹。任何特定…
  41. 41踏频，即骑行时的脚踏速度，以每分钟脚踏旋转圈数（RPM）为单位进行测量。例如，60 RPM 的踏频意味着一个脚踏在 1 分钟内完成 60 次完整旋转。动感单车上脚踏的每一次完整旋转相当于骑行了大约 0.006 km 的距离。 Lisa 报名…
  42. 42在一个化学反应中，化合物 X 由两种化合物 Y 和 Z 反应生成。 在反应开始后 t 秒时，存在的 X、Y 和 Z 的质量（以克为单位）分别为 xx、15−x15 - x 和 25−x25 - x。在任何时刻，X 的生成速率与此时存在的 Y 和…
  43. 43一家小贸易公司在 2000 年获得了 $250000 的利润。该公司考虑了两种不同的方案，方案 A 和方案 B，以增加其利润。 在方案 A 下，每年的年利润将比前一年增加 5%。对于方案 A，求： 2008 年的利润。 2000 年至 2…
  44. 44已知数列{an}\{a_{n}\}中，a1=2a_{1}=2，a2=3a_{2}=3，其前nn项和SnS_{n}满足Sn+1+Sn−1=2Sn+1S_{n+1}+S_{n-1}=2S_{n}+1，其中n⩾2n\geqslant 2，n∈N∗n∈N^{*}…
  45. 45在一堂美术课上，将铁丝剪断并弯曲以制作一系列形状。 学生 A 将一段长度为 100 cm 的铁丝剪开，用来制作一系列正方形。最小的正方形的周长是 5 cm，之后每个相邻正方形的周长都增加 3 cm。求学生 A 最多可以制作的正方形个数。 学…
  46. 46己知数列{an}\{a_{n}\}为等比数列，且a2a3a4=−a72=−64a_{2}a_{3}a_{4}=-a_{7}^{2}=-64，则tan⁡(a4a63⋅ ⁣ ⁣π ⁣ ⁣)=()\tan (\dfrac{{{a}_{4}}{{a}_{6}}}{3}\cdot \mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ })=()…
  47. 47一家金融机构“未来投资有限公司”（Future Investments Inc.）推出了一项新的投资计划。该计划在每年年底支付 5% 的年复利，利息根据每年年初账户中的金额计算。 约翰（John）和萨拉（Sarah）都对这个计划感兴趣。 约…
  48. 48在等比数列{an}\{a_{n}\}中，an∈Ra_{n}\in R，a3a_{3}，a11a_{11}是方程3x2−25x+27=03x^{2}-25x+27=0的两根，则a7=a_{7}=___.
  49. 49一名住院患者在中午 12 点服用了一颗含有 50 单位抗生素的药丸。到下午 1 点，患者体内的抗生素单位数减少了 12%。到下午 2 点，下午 1 点时血液中残留的抗生素又流失了 12%。已知抗生素含量的减少速率为每小时降低 12%，求下午…
  50. 50一个等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 aa 和 dd 均非零。如果该等差数列的第一项、第五项和第十一项分别等于一个等比数列的第一项、第二项和第三项，求该等比数列前十项的和的精确值，并表示为 kaka 的形式，其中 kk…
  51. 51已知数列{an}\{a_{n}\}为等比数列，a1=1a_{1}=1，a4=8a_{4}=8，则{an}\{a_{n}\}的前55项和S5=S_{5}= ___ ．
  52. 52一个数据处理中心每天处理数据（以适当的单位）。设 unu_n（其中 nn 是整数，n≥1n \ge 1）表示从 9 月 1 日开始每天处理的数据量。已知 un+1=(1+p)un ,u_{n+1} = (1 + p)u_n \text{ ,} 其中 pp 是…
  53. 53设数列{an}\{a_{n}\}满足an+1=4an−2an+1(n∈N∗)(1)a_{n+1}= \dfrac {4a_{n}-2}{a_{n}+1}(n∈N^{*})(1)若a1=3a_{1}=3，bn=2−anan−1(n∈N∗)b_{n}= \dfrac {2-a_{n}}{a_{n}-1}(n∈N^{*})…
  54. 54数列 u1,u2,u3,…u_1,u_2,u_3,\dots 满足 u1=34u_1 = \dfrac{3}{4} 且对所有 n≥1n \ge 1 都有 un+1=un+34(12)2nu_{n+1} = u_n + \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}…
  55. 55已知 aa，bb，cc 是一个等比数列的前三项。同时也已知 aa，cc，bb 是一个等差数列的前三项。 证明： b2=acb^2 = ac 且 c=a+b2c = \dfrac{a+b}{2}。 由此证明： 2(ba)2−(ba)−1=0.2\left(\dfrac{b}{a}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{a}\right) - 1 = 0.…
  56. 56一个等差级数的第一项（首项）为正数 aa，公差为 dd。该等差级数的第一项、第五项和第二项分别是一个等比级数的前三个连续项。已知该等差级数的项是递减的。 已知该等比级数的无穷项和为 327\dfrac{32}{7}。 证明 d=−716ad = -\dfrac{7}{16}a…
  57. 57一名住院患者在中午 12 点服用了一颗含有 50 单位抗生素的药丸。到下午 1 点，患者体内的抗生素单位数下降了 12%。到下午 2 点，下午 1 点时残留在血液中的抗生素又减少了 12%。已知其减少速率使得抗生素量每小时下降 12%，求下…
  58. 58Sarah 是一名新加坡公民，于 2021 年 8 月在新加坡国立大学 (NUS) 开始了为期 4 年的本科计算机课程。在扣除教育部学费津贴 (MOE Tuition Grant) 后，每年的学费为 $8,250。Sarah 申请了覆盖其…
  59. 59一个等差级数的首项 aa 为正数，公差为 dd。该等差级数的第一项、第五项和第二项分别是某个等比级数的前三个连续项。已知该等差级数是递减的。 证明 d=−716ad = -\dfrac{7}{16}a。 给出该等比级数收敛的原因。 已知该等比级数…
  60. 60设数列{an}\{a_{n}\}满足a1=1a_{1}\text{=}1，a2=2a_{2}\text{=}2，an+2=(1+cos⁡2nπ2)an+sin⁡2nπ2{a}_{n+2}=(1+{{\rm\cos}}^{2}\dfrac{nπ}{2}){a}_{n}+{{\rm\sin}}^{2}\dfrac{nπ}{2}…