Betty 收到朋友发来的一条关于比特币（BTC）投资的短信，该投资保证每月有固定百分比的利息。Betty 点击了短信中的链接，发现该 BTC 投资为每位投资者开设了一个账户。每个月月底会向账户中加入利息，固定利率为月初账户内金额的 11%。

(i)
Betty 决定在 2022 年 1 月 1 日用 $1500 开设一个投资账户。她的投资目的是不从账户中提取任何资金，而是让其利息不断累积。求一整年结束时的总利润。
(ii)
Betty 将短信转发给她的朋友 Carl，Carl 决定从 2022 年 1 月 1 日开始，在每个月的第一天投资 $200。

证明 Carl 的投资账户在投资 $n$ 个月后的预期金额为：
$\frac{22200}{11}\left[\left(\frac{111}{100}\right)^n - 1\right].$

为了确定涂在灯泡球形部分外部的特殊涂层量，制造商希望求出灯泡球形部分的表面积。

已知将 $x = \mathrm{f}(y)$ 的图像在区间 $y = a$ 到 $y = b$ 上绕 $y$ 轴旋转而成的旋转体表面积为：
$\int_{a}^{b} 2\pi \mathrm{f}(y) \sqrt{1 + \left(\mathrm{f}'(y)\right)^2} \mathrm{d}y.$

求灯泡球形部分表面积的数值解。
(iii)
求 Carl 的投资账户在一年结束时的预期金额。

每个灯泡可以有效地照亮 $0.5\text{ m}^2$ 的圆形区域。艺术系学生想要估算第 (a) 部分艺术装置所需的灯泡数量。该艺术系学生使用以下公式来计算需要购买的灯泡数量。
$\text{Number of light bulbs} = \frac{\text{Area of Region } R}{0.5}$

已知艺术装置上的 1 个单位代表 $100\text{ m}$ ，确定该艺术系学生将购买的灯泡数量。说明为什么使用该公式计算出的灯泡数量可能不准确。

它不会直接告诉你答案，而是问你卡在哪一步看看 AI 是怎么陪你一步步弄懂这道题的

完整解法

11(i)

1. Calculate the total amount in the account at the end of 12 months.

Since an interest of $11\%$ is added to the previous month's balance, the amount at the end of each month forms a geometric progression with a common ratio of $1.11$ .
$\text{Amount after 12 months} = 1500 \times \left(1 + \frac{11}{100}\right)^{12}$
$= 1500(1.11)^{12}$
$\approx 5247.6779$

2. Calculate the total profit by subtracting the initial principal.

$\text{Total profit} = \text{Final Amount} - \text{Initial Investment}$
$= 5247.6779 - 1500$
$= 3747.6779$
$\approx \$3747.68 \text{ (to 2 d.p.)}$

答案

$3747.68

11(ii)

1. Express the value of each deposit at the end of n months

A monthly interest of 11% multiplies the amount by $\dfrac{111}{100}=1.11$ each month.

The $200 deposited on 1 Jan earns interest for $n$ months: $200(1.11)^n$ .

The $200 deposited on the first day of month 2 earns interest for $n-1$ months: $200(1.11)^{n-1}$ .

$\;\vdots$

The $200 deposited on the first day of month $n$ earns interest for $1$ month: $200(1.11)^{1}$ .

Total $=200(1.11)+200(1.11)^2+\cdots+200(1.11)^n$ .

2. Recognise the GP and apply the sum formula

This is a geometric series with first term $a=200(1.11)$ , common ratio $r=1.11=\dfrac{111}{100}$ and $n$ terms.

$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}=\frac{200\left(\frac{111}{100}\right)\left[\left(\frac{111}{100}\right)^n-1\right]}{\frac{111}{100}-1}.$

3. Simplify to the required closed form

$\frac{111}{100}-1=\frac{11}{100}.$

$S_n=200\cdot\frac{111}{100}\cdot\frac{100}{11}\left[\left(\frac{111}{100}\right)^n-1\right]=\frac{200\times111}{11}\left[\left(\frac{111}{100}\right)^n-1\right]$

$=\frac{22200}{11}\left[\left(\frac{111}{100}\right)^n-1\right].\quad\text{(shown)}$

答案

Total amount $=\dfrac{22200}{11}\left[\left(\dfrac{111}{100}\right)^n-1\right]$ (shown).

11(iii)

1. Identify the value of $n$ for one year

One full year of monthly investments corresponds to $n = 12$ .

2. Substitute into the formula from part (ii) and evaluate

Using the result from part (ii):
$\frac{22200}{11}\left[\left(\frac{111}{100}\right)^{12} - 1\right]$
$= \frac{22200}{11}\big[(1.11)^{12} - 1\big]$
$= 2018.18\ldots \times (3.49845\ldots - 1)$
$= 2018.18\ldots \times 2.49845\ldots$
$\approx \$5042.31$

答案

Approximately $5042.31 (i.e. about $5042.30).

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完整解法

11(i)

11(ii)

11(iii)

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