已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{n}\boldsymbol{⋅}a_{n+1}=3^{n}$，$n\in N^{*}$，则下列说法正确的是$(\quad)$

A. $a_{4}=9$

B. $\{a_{2n}\}$是等比数列

C. $a_{2n}-a_{2n-1}=2\boldsymbol{⋅}3^{n}$

D. $a_{2n-1}+a_{2n}=4\boldsymbol{⋅}3^{n-1}$

1. 计算前几项，验证选项A

根据递推关系 $a_n \cdot a_{n+1} = 3^n$ 及 $a_1 = 1$，依次代入 $n=1, 2, 3$ 进行计算：
当 $n=1$ 时，$a_1 a_2 = 3^1 \implies a_2 = 3$；
当 $n=2$ 时，$a_2 a_3 = 3^2 = 9 \implies a_3 = 3$；
当 $n=3$ 时，$a_3 a_4 = 3^3 = 27 \implies a_4 = 9$。
因此，$a_4=9$，选项A正确。

2. 探究数列的递推规律，验证选项B

因为 $a_n \cdot a_{n+1} = 3^n$ ①，
所以 $a_{n+1} \cdot a_{n+2} = 3^{n+1}$ ②。
由 $\dfrac{\text{②}}{\text{①}}$ 得：$\dfrac{a_{n+2}}{a_n} = \dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3$。
这说明数列 $\{a_n\}$ 的奇数项和偶数项分别构成以 $3$ 为公比的等比数列。
其中偶数项数列 $\{a_{2n}\}$ 的首项为 $a_2 = 3$，公比为 $3$，因此 $\{a_{2n}\}$ 是等比数列，选项B正确。

3. 求出奇数项与偶数项的通项公式，验证选项C和D

根据等比数列的通项公式：
偶数项通项公式为：$a_{2n} = a_2 \cdot 3^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$；
奇数项通项公式为：$a_{2n-1} = a_1 \cdot 3^{n-1} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$。
对于选项C：
$a_{2n} - a_{2n-1} = 3^n - 3^{n-1} = (3-1) \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$，故选项C错误；
对于选项D：
$a_{2n} + a_{2n-1} = 3^n + 3^{n-1} = (3+1) \cdot 3^{n-1} = 4 \cdot 3^{n-1}$，故选项D正确。

综上所述，说法正确的有 A、B、D。