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递推关系

由递推关系 $u_{n+1} = \mathrm{f}(u_n)$ 生成的数列（包括使用图形计算器或计算机生成数列）。

这个知识点的练习题

1已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}=\dfrac{7}{6}$ ， $a_{n}^{2}-a_{n}+1=a_{n+1}(n\in N^{*})$ ， $S_{n}$ 是 $\{\dfrac{1}{a_{n}}\}$ 的前…
2已知一个数列满足 $u_{0}=2$ 且对于 $n\ge 1$ ，有 $u_{n}=u_{n-1}+n^{3}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$ 。 (a) 已知 $\displaystyle \sum_{r=1}^{n} r^{3} = \dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ …
3等差数列的首项为 $a$ ，公差为 $0.5$ ，其中 $a$ 是一个整数。求 $a$ 的最小值，使得前 36 项的和至少为 500。数列 $u_0, u_1, u_2, \dots$ 的定义为： $u_0 = 400$ 且当 $n \ge 1$ …
4Anand 编写了一个计算机程序，用于在受控环境中模拟生物种群。假设在模拟期间没有生物死亡或离开该环境。在模拟 A 中，第 1 天向环境中引入 200 个生物。在随后的每一天开始时，向环境中再引入 48 个生物。求在某天结束时，环境中的生…
5在上个月的第一天，一家制造厂内一台机器的温度被发现为 $90^\circ\text{C}$ ，主管认为该温度过高。每天，机器产生的废热作为副产品会导致机器温度上升 $2^\circ\text{C}$ 。为了降低温度，主管决定调整恒温器，并在每天…
6Aenicillin 是一种细菌，在培养皿中培养。其数量每六小时翻一番。将第一天开始时的 Aenicillin 数量记为 $x_0$ ： (a) 写出 $x_n$ （ $n \ge 1$ ）的递推关系，其中 $x_n$ 为第 $n$ 天结束时培养皿…
7数列 $u_1, u_2, u_3, \dots$ 满足 $u_1 = \frac{1}{2}$ 且 $u_{n+1} = u_n - \frac{n^2 + n - 1}{(n+2)!}, \quad \text{对于所有 } n \ge 1.$ …
8一支自行车队计划在 10 天内从新加坡骑行到槟城并返回。从新加坡到槟城往返的路线距离为 1600 km。艾利克斯（Alex）建议车队第一天骑行 120 km，之后每天增加 8 km 的骑行距离。证明车队无法在 10 天内完成该路线。贝儿…
9一个负实数数列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$ 满足关系式 $x_{n+1} = -\sqrt{1-2x_{n}}, \text{ for } n\ge 1.$ 已知该数列收敛于 $l$ ，求 $l$ 的精确值。
10Jane 决定购买一套公寓。为了筹集购房资金，她打算申请 $847 500 的银行住房贷款，该贷款的月利率为 0.25%。从第二个月开始，在每个月的第一天对未偿还贷款计息。在整个贷款期限内，从第一个月开始，每个月的最后一天进行固定月还款…
11数列 $u_1, u_2, u_3, \dots$ 满足 $u_n = 2u_{n-1} - 15n^2 + 60n + A$ ，其中 $A$ 为常数且 $n \ge 2$ 。已知 $u_1 = 2$ 且 $u_2 = 4$ 。求 $A$ 和…
12将 $\dfrac{4}{4r^{2}+12r+5}$ 表示为部分分式。求 $\displaystyle\sum_{r=2}^{n} \dfrac{4}{4r^{2}+12r+5}$ 。数列 $u_{1},u_{2},u_{3},\dots$ …
13已知数列 $u_1, u_2, u_3, \dots$ 满足 $u_1 = 0$ 且 $u_{n+1} = u_n + \frac{4 + n - n^2}{[(n+1)(n+2)]^2}, \text{ 对所有 } n \in \mathbb{Z}^+.$ …
14已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}=1$ ， $a_{n}\boldsymbol{⋅}a_{n+1}=3^{n}$ ， $n\in N^{*}$ ，则下列说法正确的是 $(\quad)$ A. $a_{4}=9$ B…
15在数列 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 中， $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}-a_{n}=7-2n$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 中最大项的数值为___.
16一个数列满足递推关系对 $n = 1,2,3,\dots$ ，有 $U_{n+1}-U_n = 2\cos\left(\dfrac{(2n+1)x}{2}\right)\sin\dfrac{x}{2}$ ，且 $U_1 = \sin x$ 。…
17已知正项数列 $\{a\}$ 满足 $n$ -- $an=anan-(n\geqslant ,n∈N+)$ ， $a$ ．设 $b= \dfrac {2^{n-1}}{a_{n}}$ ，求列 $\{bn\}$ 前项和 $Tn$ ．
18已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}=1$ ， $a_{2}=2$ ，且 $a_{n+1}=4a_{n}-3a_{n-1}(n∈N^{*},n\geqslant 2)$ ． $($ Ⅰ $)$ 令 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ …
19Selena 决定于 2025 年 1 月 1 日向银行贷款 $200 000 用于购房。在每个月的第一天，所欠金额将增加 0.5% 的利息，第一次计息时间为 2025 年 1 月 1 日。在每个月的最后一天，她向银行还款 $x，从 2…
20平面内有 $n$ 条直线，最多可将平面分成 $f(n)$ 个区域，则 $f(n)$ 的表达式为 $(\quad)$ A. $n+1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ B. $2n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ …
21实数数列 $x_1, x_2, x_3, \dots$ 满足递推关系 $x_{n+1} = \frac{5x_n + 2}{2x_n + 3} \text{ for all } n \ge 1.$ 已知该数列收敛于 $l$ ，求 $l$ …
22已知数列 $\left\{{{a}_{n}}\right\}$ 对任意的 $n\in{{\mathbf{N}}^{*}}$ ，都有 ${{a}_{n}}\in{{\mathbf{N}}^{*}}$ ，且 ${{a}_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}3{{a}_{n}}+1,{{a}_{n}}\mathrm{为奇数},\\ \dfrac{{{a}_{n}}}{2},{{a}_{n}}\mathrm{为偶数}.\text{ }\\\end{array}\right.$ …
23一名住院患者在中午 12 点服用了一颗含有 50 单位抗生素的药丸。到下午 1 点，患者体内的抗生素单位数减少了 12%。到下午 2 点，下午 1 点时血液中残留的抗生素又流失了 12%。已知抗生素含量的减少速率为每小时降低 12%，求下午…
24一个数据处理中心每天处理数据（以适当的单位）。设 $u_n$ （其中 $n$ 是整数， $n \ge 1$ ）表示从 9 月 1 日开始每天处理的数据量。已知 $u_{n+1} = (1 + p)u_n \text{ ,}$ 其中 $p$ 是…
25设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n+1}= \dfrac {4a_{n}-2}{a_{n}+1}(n∈N^{*})(1)$ 若 $a_{1}=3$ ， $b_{n}= \dfrac {2-a_{n}}{a_{n}-1}(n∈N^{*})$ …
26数列 $u_1,u_2,u_3,\dots$ 满足 $u_1 = \dfrac{3}{4}$ 且对所有 $n \ge 1$ 都有 $u_{n+1} = u_n + \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}$ …
27一名住院患者在中午 12 点服用了一颗含有 50 单位抗生素的药丸。到下午 1 点，患者体内的抗生素单位数下降了 12%。到下午 2 点，下午 1 点时残留在血液中的抗生素又减少了 12%。已知其减少速率使得抗生素量每小时下降 12%，求下…
28Sarah 是一名新加坡公民，于 2021 年 8 月在新加坡国立大学 (NUS) 开始了为期 4 年的本科计算机课程。在扣除教育部学费津贴 (MOE Tuition Grant) 后，每年的学费为 $8,250。Sarah 申请了覆盖其…
29设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}\text{=}1$ ， $a_{2}\text{=}2$ ， ${a}_{n+2}=(1+{{\rm\cos}}^{2}\dfrac{nπ}{2}){a}_{n}+{{\rm\sin}}^{2}\dfrac{nπ}{2}$ …
30数列 $u_0,\ u_1,\ u_2,\ \dots$ 满足 $u_0 = 0$ 且 $u_n = u_{n-1} - 2^{-n}\left(n^2 - 4n + 2\right),\quad\text{对于所有 } n \in \mathbb{Z}^+.$ …
31负实数数列 $x_1, x_2, x_3, \dots$ 满足关系式 $x_{n+1} = -\sqrt{1-2x_n}, \text{ 对于 } n \ge 1.$ 已知该数列收敛于 $l$ ，求 $l$ 的精确值。通过将 $\dfrac{2}{r(r+2)}$ …
32一个正数序列 $x_1, x_2, x_3, \dots$ 满足递推关系 $x_{n+1} = \sqrt{10 - 3x_n} \text{, for } n = 1, 2, 3, \dots$ 已知该序列收敛于 $l$ ，求 $l$ …
33在某家银行，一个储蓄账户在每个月的最后一天按每月 0.9% 的利率支付利息。2024年1月1日，Mr Monie 在储蓄账户中存入了 $10000 的初始存款，并在之后的每个月开始时继续存入 $810。求 2 个月结束时 Mr Mon…
34在 2023 年 1 月 1 日，金先生因其业务需要向银行贷款 $\char36{}40000$ 。银行为还款提供了两种方案。在方案 A 下，银行收取 $\char36{}4660$ 的一次性管理费，该费用计入贷款总额中。金先生需要在每个月月初支付 $\char36{}700$ 的月…
35已知数列满足 $u_0 = 2$ 且对 $n \ge 1$ 有 $u_n = u_{n-1} + n^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$ 。已知 $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}$ …
36已知数列 $u_1, u_2, u_3, \dots$ 满足 $u_1 = \frac{1}{3}$ 且 $u_{r+1} = u_r - \frac{1}{(2r-1)(2r+3)}, \quad \text{对于所有 } r \ge 1.$ …
37数列 $u_0, u_1, u_2, \dots$ 满足 $u_0 = 1$ 且 $u_n = u_{n-1} + 2n + \frac{1}{n(n+1)}, \quad\text{for all } n \in \mathbb{N}^+.$ …
38Jeremy 计划在 2024 年初向一个活期账户投资 $100 000，该账户每年支付复利，年利率为 3.2%。利息在每年的最后一天根据账户内的金额支付。他还在随后每年的第一天向该活期账户中额外存入 $X。用 $X$ 表示…
39已知 $\sum_{r=1}^n \dfrac{2}{r(r+1)(r+2)} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}.$ 写出该级数的无穷项和。求级数 $\dfrac{2}{17\times18\times19} + \dfrac{2}{18\times19\times20} + \dfrac{2}{19\times20\times21} + \cdots.$ …
40已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n}+a_{n+1}=2n$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{1}=a_{4}$ ，则 $S_{101}=(\quad)$ A. $4882$ B. $5100$ …
41迦勒正在为垂直马拉松进行训练，方法是跑一栋 62 层大楼的楼梯。他决定每周训练三天，第一天训练跑 10 层。在之后的每个训练日，他跑的楼层都比前一个训练日多 2 层。求他在第 $10^{\text{th}}$ 个训练日完成的楼层数…
42(1)三角形 $ABC$ 中， $AB=2\sqrt{3},BC=2,\angle C={{60}^{0}}$ ，则三角形 $ABC$ 的面积为___ (2)设等比数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 $a{\,\!}_{1}+a{\,\!}_{3}=10$ …
43已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1$ ， $a_{2}= \dfrac {1}{3}$ ，若 $a_{n}a_{n-1}+2a_{n}a_{n+1}=3a_{n-1}a_{n+1}(n\geqslant 2,n∈N^{+})$ …
44由负实数组成的数列 $x_1,x_2,x_3,\dots$ 满足关系式 $x_{n+1} = -\sqrt{1-2x_n},\text{ 对于 } n\ge 1.$ 已知该数列收敛于 $l$ ，求 $l$ 的确切值。通过将 $\dfrac{2}{r(r+2)}$ …
45某公司在社交媒体平台上发布了一个视频来推广一款新产品。视频于 4 月 1 日初上传，并在每天结束时记录日浏览量。设 $u_n$ （其中 $n \ge 1$ ）表示每天记录的日浏览量。已知 $u_{n+1} = (1 + k)u_n,$ 其中…
46数列 $x_{n}$ 满足关系式 $x_{n+1}=\tfrac{1}{3}\left(2x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}^{2}}\right),\quad n\in\mathbb{N}^{+}\cup\{0\},\quad 0<x_{0}<1.$ …
47Caleb正在为一项垂直马拉松比赛进行训练，方法是爬一栋62层高的大楼的楼梯。他决定每周训练三天，第一天训练时爬10层。在之后的每个训练日，他都比前一个训练日多爬2层。一旦他能在一个训练日内完成62层，他就被认为为垂直马拉松做好了准备。然…
48数列 $u_1, u_2, u_3, \dots$ 满足递推关系 $u_n = \frac{n}{(n-1)^2}u_{n-1}$ （对于 $n \ge 2$ ）。已知 $u_1 = 2$ ，用数学归纳法证明 $u_n = \frac{2n}{(n-1)!}$ …
49实数序列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$ 满足递推关系 $x_{n+1} = \dfrac{5x_{n} + 2}{2x_{n} + 3}\quad\text{对于所有 } n \ge 1.$ 已知该序列收敛于…
50已知 $\displaystyle \sum_{r=1}^n \frac{2}{r(r+1)(r+2)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ 。写出该级数的无穷项和。求级数 $\displaystyle \frac{2}{17\times18\times19} + \frac{2}{18\times19\times20} + \frac{2}{19\times20\times21} + \cdots$ …
51A first order recurrence relation for a sequence $u_0, u_1, u_2, \dots$ is an equation that relates the general term $u_n$ …
52数列 $u_0, u_1, u_2, \dots$ 的一阶递推关系是联系通项 $u_n$ 与其前一项 $u_{n-1}$ 的方程。一名学生从银行贷款 $20 000 作为大学助学贷款。银行每月的利率为 0.5%。利息在每个月的第一天…
532016年5月初，萨姆（Sam）向银行借了 $50 000，银行在每个月末收取 0.2% 的特惠月利率。萨姆从 2016 年 6 月开始，在每个月初偿还每期 $1 000 的分期付款。证明在偿还第 $n$ 期分期付款后的那个月末，萨姆…
54已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}\text{=}1$ ， $a_{n\text{+}1}\text{=}\dfrac{a_{n}}{2\text{+}3a_{n}}(n{\in}N^{\text{*}})$ ，则下列结论…
55一档名为“伊奥纳倒置塔（Inverted Tower of Ionah）”的广播游戏节目每天都会进行直播。每天都会邀请一位参与者来玩这个游戏。参与者需要将厚度相同但横截面积逐渐增大的圆盘堆叠起来，以建造一座塔。塔的每一层都由一个圆盘组成。塔…
56已知对于任意非负整数 $n$ ，有 $u_0=\frac{1}{2}$ 且 $u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{2u_n+1}$ 。写出 $u_1$ ， $u_2$ ， $u_3$ 和 $u_4$ 的值，写成 $\dfrac{f(n)}{1+f(n)}$ …