(1)三角形$ABC$中，$AB=2\sqrt{3},BC=2,\angle C={{60}^{0}}$，则三角形$ABC$的面积为___ (2)设等比数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$满足 $a{\,\!}_{1}+a{\,\!}_{3}=10$， $a{\,\!}_{2}+a{\,\!}_{4}=5$，则${{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n}}$的最大值为___ (3)在$\triangle ABC$中，$B=60^{\circ}$，$AC= \sqrt{3}$，则$AB+2BC$的最大值为___ (4)数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$满足${{a}_{1}}{=}1$，$n{{a}_{n+1}}{=}\left( n+1 \right){{a}_{n}}+n\left( n+1 \right)$，且${{b}_{n}}={{a}_{n}}\cos n\pi +1$，记${{S}_{n}}$为数列$\left\{ {{b}_{n}} \right\}$的前$n$项和，则${{S}_{100}} =$

1. 用余弦定理求出边 $AC$ 的长度

设 $AC = b$。在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ 代入已知条件：
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 + b^2 - 2 \cdot 2 \cdot b \cdot \cos 60^\circ$
$12 = 4 + b^2 - 2b$
$b^2 - 2b - 8 = 0$
解得 $b = 4$（舍去 $b = -2$）。

2. 计算三角形 $ABC$ 的面积

利用三角形面积公式：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times \sin 60^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

1. 求等比数列的首项 $a_1$ 和公比 $q$

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。由条件得：
$\begin{cases} a_1(1 + q^2) = 10 \quad \text{①} \\ a_1 q(1 + q^2) = 5 \quad \text{②} \end{cases}$
②式除以①式得：$q = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$。
代入①式解得：$a_1 = 8$。

2. 写出通项公式并分析前 $n$ 项积的最大值

通项公式为 $a_n = 8 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = 2^{4-n}$。
前 $n$ 项积 $T_n = a_1 a_2 \cdots a_n = 2^{3 + 2 + 1 + 0 + (-1) + \dots + (4-n)}$。
当 $a_n \geqslant 1$ 时，前 $n$ 项积递增或保持不变：
$a_1 = 8 > 1$, $a_2 = 4 > 1$, $a_3 = 2 > 1$, $a_4 = 1$, $a_5 = \dfrac{1}{2} < 1$。
因此，$T_n$ 在 $n=3$ 或 $n=4$ 时取得最大值：
$T_{\max} = T_3 = T_4 = 8 \times 4 \times 2 \times 1 = 64$

1. 利用正弦定理将 $AB$ 和 $BC$ 用角 $A$ 表示

在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理 $\dfrac{AC}{\sin B} = 2R$ 得：
$2R = \dfrac{\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2$
因此 $BC = a = 2\sin A$，$AB = c = 2\sin C$。
因为 $A + B + C = 180^\circ$ 且 $B = 60^\circ$，所以 $C = 120^\circ - A$（其中 $0^\circ < A < 120^\circ$）。

2. 展开化简 $AB + 2BC$ 并用辅助角公式求最值

将边用角表示并展开：
$AB + 2BC = 2\sin(120^\circ - A) + 4\sin A$
$= 2\left(\sin 120^\circ \cos A - \cos 120^\circ \sin A\right) + 4\sin A$
$= 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A + \frac{1}{2}\sin A\right) + 4\sin A = \sqrt{3}\cos A + 5\sin A$
引入辅助角 $\phi$（其中 $\tan\phi = \dfrac{\sqrt{3}}{5}$）：
$5\sin A + \sqrt{3}\cos A = \sqrt{5^2 + (\sqrt{3})^2} \sin(A + \phi) = 2\sqrt{7}\sin(A + \phi)$
由于 $0^\circ < A < 120^\circ$， $A + \phi$ 可取到 $90^\circ$，故最大值为 $2\sqrt{7}$。

1. 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

将递推关系 $n a_{n+1} = (n+1)a_n + n(n+1)$ 两边同除以 $n(n+1)$ 得：
$\dfrac{a_{n+1}}{n+1} = \dfrac{a_n}{n} + 1$
设 $c_n = \dfrac{a_n}{n}$，则 $c_1 = \dfrac{a_1}{1} = 1$。数列 $\{c_n\}$ 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，故 $c_n = n$。
因此，$a_n = n \cdot c_n = n^2$。

2. 求 $b_n$ 并计算前 100 项和 $S_{100}$

代入得 $b_n = a_n \cos(n\pi) + 1 = (-1)^n n^2 + 1$。
前 100 项和 $S_{100} = \sum_{n=1}^{100} b_n = \sum_{n=1}^{100} 1 + \sum_{n=1}^{100} (-1)^n n^2$。
常数项之和为 $100 \times 1 = 100$。
交错平方和利用平方差公式拆开两两配对：
$\sum_{n=1}^{100} (-1)^n n^2 = -1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - \dots - 99^2 + 100^2$
$= (2^2 - 1^2) + (4^2 - 3^2) + \dots + (100^2 - 99^2)$
$= (2-1)(2+1) + (4-3)(4+3) + \dots + (100-99)(100+99)$
$= 1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$
所以 $S_{100} = 100 + 5050 = 5150$。