数列 $u_1, u_2, u_3, \dots$ 满足 $u_n = 2u_{n-1} - 15n^2 + 60n + A$，其中 $A$ 为常数且 $n \ge 2$。已知 $u_1 = 2$ 且 $u_2 = 4$。

1. 利用 $n=2$ 处的递推关系求解常数 $A$

将 $n=2$、$u_1=2$、$u_2=4$ 代入递推关系 $u_n = 2u_{n-1} - 15n^2 + 60n + A$：
$u_2 = 2u_1 - 15(2)^2 + 60(2) + A$
$4 = 2(2) - 15(4) + 120 + A$
$4 = 4 - 60 + 120 + A$
$4 = 64 + A$
$A = -60$

2. 计算数列第 3 项 $u_3$ 的值

将 $n=3$、$u_2=4$ 以及 $A=-60$ 代入递推关系：
$u_3 = 2u_2 - 15(3)^2 + 60(3) + (-60)$
$u_3 = 2(4) - 15(9) + 180 - 60$
$u_3 = 8 - 135 + 180 - 60$
$u_3 = -7$

1. 利用通项公式及前三项的值列出三元一次方程组

已知通项公式 $u_n = p(2^{n+1}) - qn^2 + r$。
代入 $n=1, u_1=2$：
$p(2^2) - q(1^2) + r = 2 \implies 4p - q + r = 2 \quad \text{--- (1)}$
代入 $n=2, u_2=4$：
$p(2^3) - q(2^2) + r = 4 \implies 8p - 4q + r = 4 \quad \text{--- (2)}$
代入 $n=3, u_3=-7$：
$p(2^4) - q(3^2) + r = -7 \implies 16p - 9q + r = -7 \quad \text{--- (3)}$

2. 消去常数 $r$，求出 $q$ 的值

式 (2) $-$ 式 (1)：
$(8p - 4q + r) - (4p - q + r) = 4 - 2 \implies 4p - 3q = 2 \quad \text{--- (4)}$
式 (3) $-$ 式 (2)：
$(16p - 9q + r) - (8p - 4q + r) = -7 - 4 \implies 8p - 5q = -11 \quad \text{--- (5)}$
将式 (4) $\times 2$ 减去式 (5)：
$2(4p - 3q) - (8p - 5q) = 2(2) - (-11)$
$8p - 6q - 8p + 5q = 4 + 11$
$-q = 15 \implies q = -15$

3. 回代求解 $p$ 与 $r$ 的值

将 $q = -15$ 代入式 (4)：
$4p - 3(-15) = 2 \implies 4p + 45 = 2 \implies 4p = -43 \implies p = -\frac{43}{4} = -10.75$
将 $p = -\frac{43}{4}$ 与 $q = -15$ 代入式 (1)：
$4\left(-\frac{43}{4}\right) - (-15) + r = 2$
$-43 + 15 + r = 2 \implies -28 + r = 2 \implies r = 30$