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通项公式

由通项公式确定的数列。

这个知识点的练习题

  1. 1用裂项相消法证明 ∑r=1N1r+r+1=N+1−1.\sum_{r=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{r} + \sqrt{r+1}} = \sqrt{N+1} - 1.
  2. 2数列 u1,u2,u3,…u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots 的前 nn 项和为 SnS_{n}，其中 Sn=∑r=1nurS_{n} = \sum_{r=1}^{n} u_{r}。已知 Sn=18−2n+13n−2S_{n} = 18 - \dfrac{2^{n+1}}{3^{n-2}}…
  3. 3数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 的前 nn 项和为 SnS_n，其中 Sn=∑r=1nurS_n = \sum_{r=1}^{n} u_r。已知 Sn=An2(n+1)−BnS_n = An^2(n + 1) - Bn 其中 AA 和 BB 是非零常…
  4. 4通过将 3(3r+1)(3r+4)\frac{3}{(3r+1)(3r+4)} 写成部分分式，求出用 nn 表示的 ∑r=1n3(3r+1)(3r+4)\sum_{r=1}^{n} \frac{3}{(3r+1)(3r+4)}。 由此求出 322×125+325×128+328×131+⋯\frac{3}{22} \times \frac{1}{25} + \frac{3}{25} \times \frac{1}{28} + \frac{3}{28} \times \frac{1}{31} + \cdots…
  5. 5已知一个数列满足 u0=2u_{0}=2 且对于 n≥1n\ge 1，有 un=un−1+n3+(12)nu_{n}=u_{n-1}+n^{3}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}。 (a) 已知 ∑r=1nr3=n2(n+1)24\displaystyle \sum_{r=1}^{n} r^{3} = \dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}…
  6. 6数列−1,5,−9,13,…{-}1{,}5{,}{-}9{,}13{,}{…}的一个通项公式是an=a_{n}{=} ___ ．
  7. 7等差数列的首项为 aa，公差为 0.50.5，其中 aa 是一个整数。求 aa 的最小值，使得前 36 项的和至少为 500。 数列 u0,u1,u2,…u_0, u_1, u_2, \dots 的定义为： u0=400u_0 = 400 且当 n≥1n \ge 1…
  8. 8已知一个数列的前 nn 项和 SnS_n 表示为 Sn=an3+bn2+cn+dS_n = an^3 + bn^2 + cn + d，其中 aa、bb、cc 和 dd 为常数。已知 S1=5S_1 = 5，S2=20S_2 = 20，S3=57S_3 = 57 且 S4=128S_4 = 128…
  9. 9一个数列的前四项分别为 v1=−9v_1 = -9，v2=7v_2 = 7，v3=47v_3 = 47 和 v4=141v_4 = 141。已知 vnv_n 是关于 nn 的三次多项式。求用 nn 表示的 vnv_n。
  10. 10数列{an}\{a_{n}\}中，Sn=4−an−12n−2S_{n}=4-a_{n}- \dfrac {1}{2^{n-2}}． ((Ⅰ))求a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4}； ((Ⅱ))…
  11. 11数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=12u_1 = \frac{1}{2} 且 un+1=un−n2+n−1(n+2)!,对于所有 n≥1.u_{n+1} = u_n - \frac{n^2 + n - 1}{(n+2)!}, \quad \text{对于所有 } n \ge 1.…
  12. 12数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 un=2un−1−15n2+60n+Au_n = 2u_{n-1} - 15n^2 + 60n + A，其中 AA 为常数且 n≥2n \ge 2。已知 u1=2u_1 = 2 且 u2=4u_2 = 4。 求 AA 和…
  13. 13已知等差数列{an}\{a_{n}\}的通项公式an=64−4n5a_{n}= \dfrac {64-4n}{5}，设An=∣an+an+1+…+an+12∣(n∈N∗)A_{n}=|a_{n}+a_{n+1}+…+a_{n+12}|(n∈N^{*})，当AnA_{n}取得最小值时，nn…
  14. 14已知数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=0u_1 = 0 且 un+1=un+4+n−n2[(n+1)(n+2)]2, 对所有 n∈Z+.u_{n+1} = u_n + \frac{4 + n - n^2}{[(n+1)(n+2)]^2}, \text{ 对所有 } n \in \mathbb{Z}^+.…
  15. 15树木学家是研究树木和木本植物的专业科学家。他们的工作多种多样，可以涵盖与树木鉴定、分类、生物学和生态学相关的各种活动。一组树木学家正在研究代号为“Vee树”（Tree Vee）和“Jay树”（Tree Jay）的两种树木的生长情况。…
  16. 16已知 ∑n=1Nn3=[N2(N+1)]2,\sum_{n=1}^{N} n^{3} = \left[\frac{N}{2}(N+1)\right]^{2}, 用 N 表示并简化： 12−23+33−43+⋯−(2N)3.1^{2}-2^{3}+3^{3}-4^{3}+\dots-(2N)^{3}.
  17. 17证明： 2n+1n2+2n+n2−1=n2+2n−n2−1\displaystyle \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+2n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-1}。 由此求 ∑n=1N2n+1n2+2n+n2−1\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2-1}}…
  18. 18用数学归纳法证明： ∑r=1nr3=14n2(n+1)2.\sum_{r=1}^{n} r^{3} = \frac{1}{4} n^{2} (n+1)^{2}. 已知一个级数的第 r 项为 ln⁡(2ar)\ln\left(2a^{r}\right)，其中 aa 是一个正数常数。…
  19. 19已知数列{an}\{a_{n}\}的前nn项为和SnS_{n}，点(n,Snn)(n, \dfrac {S_{n}}{n})在直线y=12x+112y= \dfrac {1}{2}x+ \dfrac {11}{2}上.数列{bn}\{b_{n}\}…
  20. 20已知数列 TnT_n 由 Tn=ln(na)+bn2+cT_n = \text{ln}(n^a) + bn^2 + c 给出，其中 n oldsymbolackslashin oldsymbolackslashZ+n \text{ } oldsymbol{\rm ackslash in} \text{ } oldsymbol{\rm ackslash Z}^+…
  21. 21一个数列满足递推关系 对 n=1,2,3,…n = 1,2,3,\dots，有 Un+1−Un=2cos⁡((2n+1)x2)sin⁡x2U_{n+1}-U_n = 2\cos\left(\dfrac{(2n+1)x}{2}\right)\sin\dfrac{x}{2}，且 U1=sin⁡xU_1 = \sin x。…
  22. 22已知数列{an}\{a_{n}\}中，a1=1a_{1}=1，a2=2a_{2}=2，且an+1=4an−3an−1(n∈N∗,n⩾2)a_{n+1}=4a_{n}-3a_{n-1}(n∈N^{*},n\geqslant 2)． ((Ⅰ))令bn=an+1−anb_{n}=a_{n+1}-a_{n}…
  23. 23Selena 决定于 2025 年 1 月 1 日向银行贷款 $200 000 用于购房。在每个月的第一天，所欠金额将增加 0.5% 的利息，第一次计息时间为 2025 年 1 月 1 日。在每个月的最后一天，她向银行还款 $x，从 2…
  24. 24数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=e10u_1 = \dfrac{e}{10} 且 对于所有 n≥2n \ge 2，un−un−1=e2n−1u_n - u_{n-1} = \dfrac{e}{2^{n-1}}。 使用裂项消去法证明： un=e10[11−10(12)n−1].u_n = \dfrac{e}{10}\left[11 - 10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right].…
  25. 25疾病的基本再生数（reproduction number）R0R_0 是一个数学术语，用于表示一种传染病的传播能力。它给出了每个患者平均传染的人数。如果该社区中没有人接种过该疾病的疫苗，或者没有人对该疾病具有免疫力，这种复制（传播）将会持续…
  26. 26利用 ln⁡(1+x)\ln(1+x) 和 ln⁡(1−x)\ln(1-x) 的标准级数，求出 ln⁡(1+x1−x)\displaystyle\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) 的级数的前三个非零项。 通过在第 (i) 部分的答案中选择合适的 xx…
  27. 27一个袋子里装有10个红色和15个绿色的珠子，除颜色外它们无法区分。每次从袋子中随机抽取一个珠子，每次抽取后放回。 计算在第5次抽取或之前获得第一个红色珠子的概率。 已知在前5次抽取中没有获得绿色珠子，计算在第8次抽取中首次获得绿色珠子的概率…
  28. 28平面内有nn条直线，最多可将平面分成f(n)f(n)个区域，则f(n)f(n)的表达式为()(\quad) A. n+1          n+1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: B. 2n          2n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  29. 29已知数列{an}\{a_{n}\}中，a1=2a_{1}=2，a2=3a_{2}=3，其前nn项和SnS_{n}满足Sn+1+Sn−1=2Sn+1S_{n+1}+S_{n-1}=2S_{n}+1，其中n⩾2n\geqslant 2，n∈N∗n∈N^{*}…
  30. 30证明 1a+b=a−ba−b\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}。 精确求出 ∑r=1250014r−3+4r+1\displaystyle\sum_{r=1}^{2500}\dfrac{1}{\sqrt{4r-3}+\sqrt{4r+1}}…
  31. 31求 ∑r=0n[(n+2)r+n]\sum_{r=0}^{n} [(n+2)r + n]，用含 nn 的式子表示你的答案。 [在本题的后续部分中，你可以使用结论 ∑r=1nr3=14n2(n+1)2\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2。] 通过写出…
  32. 32一个数据处理中心每天处理数据（以适当的单位）。设 unu_n（其中 nn 是整数，n≥1n \ge 1）表示从 9 月 1 日开始每天处理的数据量。已知 un+1=(1+p)un ,u_{n+1} = (1 + p)u_n \text{ ,} 其中 pp 是…
  33. 33数列 u1,u2,u3,…u_1,u_2,u_3,\dots 满足 u1=34u_1 = \dfrac{3}{4} 且对所有 n≥1n \ge 1 都有 un+1=un+34(12)2nu_{n+1} = u_n + \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}…
  34. 34Sarah 是一名新加坡公民，于 2021 年 8 月在新加坡国立大学 (NUS) 开始了为期 4 年的本科计算机课程。在扣除教育部学费津贴 (MOE Tuition Grant) 后，每年的学费为 $8,250。Sarah 申请了覆盖其…
  35. 35数列 u0, u1, u2, …u_0,\ u_1,\ u_2,\ \dots 满足 u0=0u_0 = 0 且 un=un−1−2−n(n2−4n+2),对于所有 n∈Z+.u_n = u_{n-1} - 2^{-n}\left(n^2 - 4n + 2\right),\quad\text{对于所有 } n \in \mathbb{Z}^+.…
  36. 36已知数列 u1,u2,u3,…u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots 的前 nn 项和 SnS_{n} 由 Sn=a(3n)+bn+cS_{n}=a(3^{n})+bn+c 给出，其中 a,ba, b 和 cc 是常数且 n≥1n\ge 1。 已知 u1=5,  u2=9u_{1}=5,\;u_{2}=9…
  37. 37已知等差数列{an}\{a_{n}\}的首项a1=−2a_{1}=-2，等比数列{bn}\{b_{n}\}的公比为qq，且a2=b1a_{2}=b_{1}，a3=b2+1a_{3}=b_{2}+1，a1b2+5b2=b3a_{1}b_{2}+5b_{2}=b_{3}…
  38. 38数列{an}\{a_{n}\}的通项公式是an=21+4n−n2a_{n}=21+4n-n^{2}，这个数列从第 ___ 项起各项都为负数．
  39. 39已知 f(r)=1−3(r+2)!\mathrm{f}(r) = 1 - \frac{3}{(r+2)!}，其中 rr 是非负整数。 证明 f(r)−f(r−1)=a(r+1)(r+2)!\mathrm{f}(r) - \mathrm{f}(r-1) = \frac{a(r+1)}{(r+2)!}，其中…
  40. 40已知f(x)=xexf(x)= \dfrac {x}{e^{x}}，f1(x)=f′(x)f_{1}(x)=f′(x)，f2(x)=[f1(x)]′f_{2}(x)=[f_{1}(x)]′，……，fn+1(x)=[fn(x)]′f_{n+1}(x)=[f_{n}(x)]′，n∈N∗n∈N^{*}，经…
  41. 41一个级数的前 nn 项由 log⁡a3+log⁡a27+log⁡a243+…+log⁡a32n−1\log_a 3 + \log_a 27 + \log_a 243 + \ldots + \log_a 3^{2^{n-1}} 给出，其中 aa 是一个正数常数。 证明该级数是等差级数。 已知该级数前 30…
  42. 42瑞安有一些纸牌，他把它们叠成金字塔。他首先叠起纸牌组成一个 1 层的金字塔，然后是另一个 2 层的金字塔，依此类推。不同层数 n 的金字塔如下图所示： 设 SnS_n 表示一个 nn 层金字塔中的纸牌数量。已知对于某些常数 a,ba,b 和…
  43. 43一个等比级数的公比为 rr，一个等差级数的首项为 aa，公差为 dd，其中 aa 和 dd 均非零。该等比级数的前三项分别等于该等差级数的第一项、第四项和第六项。 证明 3r2−5r+2=03r^{2} - 5r + 2 = 0。 由此推导该等比…
  44. 44在某家银行，一个储蓄账户在每个月的最后一天按每月 0.9% 的利率支付利息。2024年1月1日，Mr Monie 在储蓄账户中存入了 $10000 的初始存款，并在之后的每个月开始时继续存入 $810。 求 2 个月结束时 Mr Mon…
  45. 45已知数列满足 u0=2u_0 = 2 且对 n≥1n \ge 1 有 un=un−1+n3+(12)nu_n = u_{n-1} + n^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^n。 已知 ∑r=1nr3=n2(n+1)24\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}…
  46. 46已知数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，Sn=2an−3n(n∈N∗).(1)S_{n}=2a_{n}-3n(n∈N^{*}).(1)证明数列{an+3}\{a_{n}+3\}是等比数列，求出数列{an}\{a_{n}\}的通项公式； (2…
  47. 47已知数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=13u_1 = \frac{1}{3} 且 ur+1=ur−1(2r−1)(2r+3),对于所有 r≥1.u_{r+1} = u_r - \frac{1}{(2r-1)(2r+3)}, \quad \text{对于所有 } r \ge 1.…
  48. 48数列 u0,u1,u2,…u_0, u_1, u_2, \dots 满足 u0=1u_0 = 1 且 un=un−1+2n+1n(n+1),for all n∈N+.u_n = u_{n-1} + 2n + \frac{1}{n(n+1)}, \quad\text{for all } n \in \mathbb{N}^+.…
  49. 49下图展示了由正方形组成的一系列图案。阶段 0 由一个边长为 1 的正方形表示。在随后的每个阶段中，将前一阶段中最小正方形边长一半的正方形，添加到前一阶段中正方形的未占用顶点上。 设 A0A_0 为阶段 0 的正方形面积， AnA_n 为阶段…
  50. 50已知 ∑r=1n2r(r+1)(r+2)=12−1(n+1)(n+2).\sum_{r=1}^n \dfrac{2}{r(r+1)(r+2)} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}. 写出该级数的无穷项和。 求级数 217×18×19+218×19×20+219×20×21+⋯ .\dfrac{2}{17\times18\times19} + \dfrac{2}{18\times19\times20} + \dfrac{2}{19\times20\times21} + \cdots.…
  51. 51用数学归纳法证明，对于所有正整数 nn 且 x∈Rx \in \mathbb{R}，x≠0,x≠1x \ne 0, x \ne 1， 1x−1−1x−1x2−⋯−1xn=1xn(x−1).\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dots-\dfrac{1}{x^n}=\dfrac{1}{x^n(x-1)}.…
  52. 52一家大米零售商承诺，服务学习项目的参与者每跑一公里，零售商就捐赠一碗大米。捐赠将以整碗为单位，基于每个人在 28 天结束时的累计跑步距离。多个人的跑步距离不会合并计算。例如，如果 A 跑了 18.8 km，B 跑了 11.2 km，零售商将…
  53. 53已知一个级数的前 nn 项由 log⁡a3+log⁡a27+log⁡a243+⋯+log⁡a32n−1\log_a 3 + \log_a 27 + \log_a 243 + \dots + \log_a 3^{2n-1} 给出，其中 aa 是一个正常数。 证明该级数是一个等差级数。 已知该级数的前 30…
  54. 54数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=−1u_1 = -1 且 un+1=un+2(3−n)+au_{n+1} = u_n + 2(3^{-n}) + a，其中 n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ 且 aa 为常数。通过考虑 un+1−unu_{n+1} - u_n…
  55. 55已知级数： ∑r=1n2(4−3x)r\sum_{r=1}^{n} 2(4-3x)^{r} 其中 xx 为常数。 解释为什么这是一个等比级数。求使该级数的无穷项和存在的 xx 的取值范围。 设 x=1x = 1，且已知 ∑r=1nr2=n6(n+1)(2n+1),\sum_{r=1}^{n} r^{2} = \dfrac{n}{6}(n+1)(2n+1),…
  56. 56等差数列的第九项、第五项和第二项是一个首项为 aa、公比为 rr 的等比数列的连续项，其中 r≠1r \ne 1 且 a>0a > 0。求 rr 的值并推导说明该等比级数是收敛的。 利用在 (i) 中求得的 rr 的值，求最小的 nn…
  57. 57已知数列 uru_r 的前 nn 项和为 ∑r=1nur=1−n(n+1)!\displaystyle\sum_{r=1}^n u_r = 1 - \dfrac{n}{(n+1)!}。 求用 nn 表示的 unu_n（其中 n≥2n \ge 2），并将你的答案表示为单…
  58. 58已知 ∑r=1nr2=n(n+1)(2n+1)6,\sum_{r=1}^{n} r^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, 求以 n 表示的 ∑r=1n(3r+1)2\sum_{r=1}^{n} (3r+1)^{2}。 利用第 (i) 问的答案，求 ∑r=1n+1(3r−2)2\sum_{r=1}^{n+1} (3r-2)^{2}…
  59. 59数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足递推关系 un=n(n−1)2un−1u_n = \frac{n}{(n-1)^2}u_{n-1}（对于 n≥2n \ge 2）。 已知 u1=2u_1 = 2，用数学归纳法证明 un=2n(n−1)!u_n = \frac{2n}{(n-1)!}…
  60. 60已知数列{an}\{a_{n}\}，an=1n(n+2)(n∈N+)a_{n}= \dfrac {1}{n(n+2)}(n∈N_{+})，那么1120 \dfrac {1}{120}是这个数列的第 ___ 项.