已知等差数列$\{a_{n}\}$的首项$a_{1}=-2$，等比数列$\{b_{n}\}$的公比为$q$，且$a_{2}=b_{1}$，$a_{3}=b_{2}+1$，$a_{1}b_{2}+5b_{2}=b_{3}$． (1)求数列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$通项公式； (2)求数列$\{a_{n}b_{n}\}$的前$n$项的和$S_{n}$．

1. 设未知量并由已知条件求出公比 $q$

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则 $a_n = -2 + (n-1)d$．
因为 $a_1b_2 + 5b_2 = b_3$，即 $-2b_2 + 5b_2 = b_3$，变形得 $3b_2 = b_3$．
又由于 $b_2 \neq 0$，所以等比数列 $\{b_n\}$ 的公比 $q = \dfrac{b_3}{b_2} = 3$．

2. 求解公差 $d$ 并写出 $a_n$ 和 $b_n$ 的通项公式

由 $a_2 = b_1$，得 $b_1 = -2+d$．
又已知 $a_3 = b_2 + 1$，且 $b_2 = b_1 q = 3(-2+d)$，代入可得：
$-2+2d = 3(-2+d) + 1$
解得 $d = 3$．
因此，$a_n = -2 + 3(n-1) = 3n - 5$．
由 $b_1 = -2 + 3 = 1$，$q = 3$，得 $b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$．

1. 写出 $S_n$ 的展开式及 $3S_n$ 的展开式

由 (1) 可知 $a_n b_n = (3n-5) \cdot 3^{n-1}$．
设数列 $\{a_n b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则：
$S_n = (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 3^1 + 4 \cdot 3^2 + \dots + (3n-5) \cdot 3^{n-1}$
等式两边同乘以公比 $3$ 得：

2. 两式相减并运用等比数列求和公式得出 $S_n$

两式错位相减得：
$S_n - 3S_n = -2 + \left[ 3 \cdot 3^1 + 3 \cdot 3^2 + \dots + 3 \cdot 3^{n-1} \right] - (3n-5) \cdot 3^n$
$-2S_n = -2 + 3 \cdot \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} - (3n-5) \cdot 3^n$
$-2S_n = -2 + \frac{9(3^{n-1}-1)}{2} - (3n-5) \cdot 3^n$
两边同乘以 $-1$ 并化简得：
$2S_n = 2 - \frac{3^{n+1}-9}{2} + (3n-5) \cdot 3^n = \frac{(6n-13) \cdot 3^n + 13}{2}$
故 $S_n = \frac{(6n-13) \cdot 3^n + 13}{4}$．