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等差数列与等差级数

有限等差数列的通项公式与求和公式。

这个知识点的练习题

1已知一个数列的前 $n$ 项和为 $S_n = 3n(n + 2)$ 。证明该数列是一个等差数列。第 (a) 部分中数列的第二项、第七项和第 $m$ 项是一个等比数列的前三个连续项，该等比数列的第 $n$ 项记为 $v_n$ 。求 $m$ …
2已知一个级数的前 $n$ 项和为 $S_n = 3n(n + 2)$ 。证明该级数的各项构成等差数列。 (a) 部分中该级数的第二项、第七项和第 $m$ 项是一个等比级数的前三个连续项，且其第 $n$ 项由 $v_n$ 给出。求 $m$ 的值…
3一个等差数列的前 100 项之和为 10,000。该数列的第一项、第二项和第五项构成一个等比数列的三个连续项。求该等差数列的首项和非零公差。
4已知 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 是公差为 $2$ 的等差数列， ${S}_{n}$ 为 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{5}=S_{3}$ ，则 $a_{4}=(\quad)$ …
5等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\dfrac{S_{n}}{T_{n}}=\dfrac{3n}{2n+3}$ ，则 $\dfrac{a_{5}}{b_{5}}=(\quad)$ …
6数列 $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $S_{n} = \sum_{r=1}^{n} u_{r}$ 。已知 $S_{n} = 18 - \dfrac{2^{n+1}}{3^{n-2}}$ …
7有一堆电线杆，从它的截面看是一个近似的三角形，最底层有33根，相邻两层相差2根．这堆电线杆共有多少根？
8已知定义：在数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}=p(n\geqslant 2,n∈N^{*},p$ 为常数 $)$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为等方差数列，下列判断： $①\{(-1)^{n}\}$ …
9等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} > 0$ ， $a_{1}^{2}+a_{7}^{2}+2a_{1}a_{7}=4$ ，则它的前 $7$ 项的和等于 $()$ A. $\dfrac {5}{2}$ B. $5$ …
10已知数列 $u_1, u_2, u_3, \dots$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为 $S_n = n^2 + 4n .$ 求 $u_n$ 关于 $n$ 的表达式。由此证明该数列是一个等差数列。
11数列 ${-}1{,}5{,}{-}9{,}13{,}{…}$ 的一个通项公式是 $a_{n}{=}$ ___ ．
12已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项为 $a_{1}$ ，且 $4$ ， $a_{n}$ ， $S_{n}$ 成等差数列． (1)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2)若 $a_{n}^{2}={{2}^{{{b}_{n}}}}$ …
13等差数列的首项为 $a$ ，公差为 $0.5$ ，其中 $a$ 是一个整数。求 $a$ 的最小值，使得前 36 项的和至少为 500。数列 $u_0, u_1, u_2, \dots$ 的定义为： $u_0 = 400$ 且当 $n \ge 1$ …
14Anand 编写了一个计算机程序，用于在受控环境中模拟生物种群。假设在模拟期间没有生物死亡或离开该环境。在模拟 A 中，第 1 天向环境中引入 200 个生物。在随后的每一天开始时，向环境中再引入 48 个生物。求在某天结束时，环境中的生…
15已知等比数列 $\{a_{n}\}(a_{1}\neq a_{2})$ 的公比为 $q$ ，且 $a_{7}$ ， $a_{1}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，则 $q=()$ A. $1$ 或 $- 32$ B. $- 32$ …
16等差数列的首项为 $a$ ，公差为 $d$ ，其中 $a$ 和 $d$ 均不为零。该等差数列的第一、第三和第七项是一个公比为 $r$ 的等比数列的三个连续正数项。证明 $r=2$ 。等比数列的首项是该等差数列首项的十分之一。求最小的 $n$ …
17Aenicillin 是一种细菌，在培养皿中培养。其数量每六小时翻一番。将第一天开始时的 Aenicillin 数量记为 $x_0$ ： (a) 写出 $x_n$ （ $n \ge 1$ ）的递推关系，其中 $x_n$ 为第 $n$ 天结束时培养皿…
18 $\sqrt {2}+1$ 与 $\sqrt {2}-1$ 的等差中项是 $()$ A. $1$ B. $-1$ C. $\sqrt {2}$ D. $±1$
19一个有限数列 $\{a_n\}$ 有 50 项，且对于 $n = 1,2,3,\ldots,49$ ，满足 $a_{n+1} = a_n + 0.15$ 。另一个无限数列 $\{b_m\}$ 满足 $b_1 = a_{50}$ ，且对于 $m \ge 2$ …
20若 $2x$ ， $x+1$ ， $x+2$ 成等差数列， $x=$ ___ ．
21一支自行车队计划在 10 天内从新加坡骑行到槟城并返回。从新加坡到槟城往返的路线距离为 1600 km。艾利克斯（Alex）建议车队第一天骑行 120 km，之后每天增加 8 km 的骑行距离。证明车队无法在 10 天内完成该路线。贝儿…
22已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}=1$ ，其前 $n$ 项和为 $s_{n}$ ，且 $a_{n}= \dfrac {2 s_{ n }^{ 2 }}{2s_{n}-1}(n\geqslant 2)(1)$ 证明 $\{ \dfrac {1}{s_{n}}\}$ …
23Adam 和 Gregory 报名参加了马拉松比赛。为了准备这次马拉松，Adam 和 Gregory 各自制定了一个为期 15 周的个性化训练计划。Adam 在第 1 周的第一天跑了 2.4 km，在随后每周的第一天，所跑的距离比前一周增加…
24已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}= \dfrac {64-4n}{5}$ ，设 $A_{n}=|a_{n}+a_{n+1}+…+a_{n+12}|(n∈N^{*})$ ，当 $A_{n}$ 取得最小值时， $n$ …
25树木学家是研究树木和木本植物的专业科学家。他们的工作多种多样，可以涵盖与树木鉴定、分类、生物学和生态学相关的各种活动。一组树木学家正在研究代号为“Vee树”（Tree Vee）和“Jay树”（Tree Jay）的两种树木的生长情况。…
26已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}(n∈N^{*})$ ，且 $a_{n}=2n+λ$ ，若数列 $\{S_{n}\}$ 在 $n\geqslant 7$ 时为递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围为 $()$ …
27市民小张计划贷款 $60$ 万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当…
28求有多少个小于 1000 的正整数是：奇数。不能被 5 整除的奇数。求小于 1000 且不能被 5 整除的所有奇数之和。
29已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2S_{n}=a_{n+1}a_{n}$ ，则 $a_{1}=$ ___ .
30在一项电脑模拟中，每位玩家使用一个完全相同的水桶，重复向各自指定的、初始为空的水箱中倒水。两位玩家 Chris 和 Elliot 参与了这项模拟，并按以下方式向各自的水箱中倒水： * Chris 第一次用水桶向水箱中倒入 5 升水。随后，他…
31求 $\pi \int_{1}^{6} x^3 \text{ d}x$ 的准确值。图中给出了曲线 $y = x^{\frac{3}{2}}$ 的草图，其中 $x \ge 0$ 。曲线下方介于 $x = 1$ 和 $x = 6$ 之间的区域（…
32已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}=d=9$ ，若 $S_{3n}-S_{2n}=S_{2n}-S_{n}+729$ ，则 $n$ 的值为 $(\quad)$ A. $8$ …
33一个半径为 $r$ 的圆形蛋糕被切成 22 个扇形。这些扇形的面积构成一个递增的等差数列。第八个扇形的面积是最小扇形面积的两倍。用 $\pi$ 表示最大扇形的角。 [扇形面积 = $\tfrac{1}{2} r^2 \theta$ ，其中 $\theta$ …
34求 $\int \frac{x}{\sqrt{2x-1}}\,dx.$ 利用换元法 $t = \tan x$ ，求 $\int \frac{1}{4\cos^{2}x + 9\sin^{2}x}\,dx.$ 上图显示了曲线 $y = x^{2} + 3x$ …
35在数列 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 中， $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}-a_{n}=7-2n$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 中最大项的数值为___.
36温迪（Wendie）参加训练以准备一场跑步比赛。在第一场训练中，她在恰好 5 分钟内跑了 1000 米的距离。对于之后的每一场训练，跑步的距离都比前一场多 $x\%$ ，且所花的时间比前一场多 1.5 分钟。已知 $x = 8$ 。求她在第…
37已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项为和 $S_{n}$ ，点 $(n, \dfrac {S_{n}}{n})$ 在直线 $y= \dfrac {1}{2}x+ \dfrac {11}{2}$ 上.数列 $\{b_{n}\}$ …
38设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $\dfrac{S_{3}}{S_{6}}=\dfrac{1}{3}$ ，则 $\dfrac{S_{9}}{S_{6}}=$ ___ .
39已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}(a_{n+1}-1)=a_{n}(a_{n}+1).$ 若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $b_{n}=[\dfrac{(n+1)^{2}}{2S_{n}}]$ …
40一个有限数列 $\{a_n\}$ 含有 50 项，且对于 $n = 1,2,3,\ldots,49$ ，满足 $a_{n+1} = a_n + 0.15$ 。另一个无限数列 $\{b_m\}$ 满足 $b_1 = a_{50}$ 且对于 $m \ge 2$ …
41疾病的基本再生数（reproduction number） $R_0$ 是一个数学术语，用于表示一种传染病的传播能力。它给出了每个患者平均传染的人数。如果该社区中没有人接种过该疾病的疫苗，或者没有人对该疾病具有免疫力，这种复制（传播）将会持续…
42一套特别的俄罗斯套娃由七个娃娃组成。这七个娃娃的高度呈等差数列，公差为 $d$ 。如果最高的娃娃的高度是矮的最矮的娃娃高度的四倍，且这套娃娃中所有娃娃的高度之和为 70 cm，求 $d$ 。鲍勃从平台上走下，垂直下落，并在蹦床上反弹。任何特定…
43踏频，即骑行时的脚踏速度，以每分钟脚踏旋转圈数（RPM）为单位进行测量。例如，60 RPM 的踏频意味着一个脚踏在 1 分钟内完成 60 次完整旋转。动感单车上脚踏的每一次完整旋转相当于骑行了大约 0.006 km 的距离。 Lisa 报名…
44在一个化学反应中，化合物 X 由两种化合物 Y 和 Z 反应生成。在反应开始后 t 秒时，存在的 X、Y 和 Z 的质量（以克为单位）分别为 $x$ 、 $15 - x$ 和 $25 - x$ 。在任何时刻，X 的生成速率与此时存在的 Y 和…
45平面内有 $n$ 条直线，最多可将平面分成 $f(n)$ 个区域，则 $f(n)$ 的表达式为 $(\quad)$ A. $n+1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ B. $2n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ …
46一家小贸易公司在 2000 年获得了 $250000 的利润。该公司考虑了两种不同的方案，方案 A 和方案 B，以增加其利润。在方案 A 下，每年的年利润将比前一年增加 5%。对于方案 A，求： 2008 年的利润。 2000 年至 2…
47已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}=2$ ， $a_{2}=3$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n+1}+S_{n-1}=2S_{n}+1$ ，其中 $n\geqslant 2$ ， $n∈N^{*}$ …
48已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2}=7$ ， $a_{6}+a_{8}=-6$ ，则 $S_{n}$ 取最大值时， $n$ 的值为 $()$ A. $3$ B. $4$ …
49在一堂美术课上，将铁丝剪断并弯曲以制作一系列形状。学生 A 将一段长度为 100 cm 的铁丝剪开，用来制作一系列正方形。最小的正方形的周长是 5 cm，之后每个相邻正方形的周长都增加 3 cm。求学生 A 最多可以制作的正方形个数。学…
50求 $\sum_{r=0}^{n} [(n+2)r + n]$ ，用含 $n$ 的式子表示你的答案。 [在本题的后续部分中，你可以使用结论 $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$ 。] 通过写出…
51设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{7}=21$ ， $S_{21}=33$ ，则 $S_{14}=(\quad)$ A. $27$ B. $45$ C. $32$ D. $11$ …
52一家金融机构“未来投资有限公司”（Future Investments Inc.）推出了一项新的投资计划。该计划在每年年底支付 5% 的年复利，利息根据每年年初账户中的金额计算。约翰（John）和萨拉（Sarah）都对这个计划感兴趣。约…
53一个等差数列的首项为 $a$ ，公差为 $d$ ，其中 $a$ 和 $d$ 均非零。如果该等差数列的第一项、第五项和第十一项分别等于一个等比数列的第一项、第二项和第三项，求该等比数列前十项的和的精确值，并表示为 $ka$ 的形式，其中 $k$ …
54等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S{\,\!}_{2}=2$ ， $S{\,\!}_{4}=10$ ，则 $S{\,\!}_{6}$ 等于 $()$ A. $12$ B.…
55一个数据处理中心每天处理数据（以适当的单位）。设 $u_n$ （其中 $n$ 是整数， $n \ge 1$ ）表示从 9 月 1 日开始每天处理的数据量。已知 $u_{n+1} = (1 + p)u_n \text{ ,}$ 其中 $p$ 是…
56已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是一个等比数列的前三项。同时也已知 $a$ ， $c$ ， $b$ 是一个等差数列的前三项。证明： $b^2 = ac$ 且 $c = \dfrac{a+b}{2}$ 。由此证明： $2\left(\dfrac{b}{a}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{a}\right) - 1 = 0.$ …
57一个等差级数的第一项（首项）为正数 $a$ ，公差为 $d$ 。该等差级数的第一项、第五项和第二项分别是一个等比级数的前三个连续项。已知该等差级数的项是递减的。已知该等比级数的无穷项和为 $\dfrac{32}{7}$ 。证明 $d = -\dfrac{7}{16}a$ …
58Sarah 是一名新加坡公民，于 2021 年 8 月在新加坡国立大学 (NUS) 开始了为期 4 年的本科计算机课程。在扣除教育部学费津贴 (MOE Tuition Grant) 后，每年的学费为 $8,250。Sarah 申请了覆盖其…
59一个等差级数的首项 $a$ 为正数，公差为 $d$ 。该等差级数的第一项、第五项和第二项分别是某个等比级数的前三个连续项。已知该等差级数是递减的。证明 $d = -\dfrac{7}{16}a$ 。给出该等比级数收敛的原因。已知该等比级数…
60设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}\text{=}1$ ， $a_{2}\text{=}2$ ， ${a}_{n+2}=(1+{{\rm\cos}}^{2}\dfrac{nπ}{2}){a}_{n}+{{\rm\sin}}^{2}\dfrac{nπ}{2}$ …