等差数列{an}\{a_{n}\}中,an>0a_{n} > 0,a12+a72+2a1a7=4a_{1}^{2}+a_{7}^{2}+2a_{1}a_{7}=4,则它的前77项的和等于()()
A. 52 \dfrac {5}{2}
B. 55
C. 72 \dfrac {7}{2}
D. 77

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完整解法

1. 由已知等式求出 $a_1 + a_7$ 的值

将已知等式左边化为完全平方形式:
a12+a72+2a1a7=(a1+a7)2=4a_{1}^{2}+a_{7}^{2}+2a_{1}a_{7} = (a_1 + a_7)^2 = 4
因为数列 {an}\{a_n\} 满足 an>0a_n > 0,所以 a1>0a_1 > 0 且 a7>0a_7 > 0,即 a1+a7>0a_1 + a_7 > 0。
解得:
a1+a7=2a_1 + a_7 = 2

2. 利用等差数列求和公式计算 $S_7$

根据等差数列的前 nn 项和公式:
S7=7(a1+a7)2S_7 = \frac{7(a_1 + a_7)}{2}
将 a1+a7=2a_1 + a_7 = 2 代入可得:
S7=7×22=7S_7 = \frac{7 \times 2}{2} = 7
故正确选项为 D。

答案

D

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