已知公差不为$0$的等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$2S_{n}=a_{n+1}a_{n}$，则$a_{1}=$___ .

1. 利用 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系作差消去 $S_n$

当 $n \geqslant 2$ 时，由已知条件 $2S_n = a_{n+1}a_n$ 可得：
$2S_{n-1} = a_n a_{n-1}$
两式相减得：
$2(S_n - S_{n-1}) = a_{n+1}a_n - a_n a_{n-1}$
由 $S_n - S_{n-1} = a_n$，可得：
$2a_n = a_n(a_{n+1} - a_{n-1})$

2. 利用等差数列性质求出公差 $d$

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则 $a_{n+1} - a_{n-1} = 2d$。
代入上式得：
$2a_n = 2d a_n \implies 2a_n(1 - d) = 0$
若 $d \neq 1$，则对于任意 $n \geqslant 2$ 均有 $a_n = 0$，导出公差 $d = 0$，这与已知条件“公差不为 $0$”矛盾。
因此必有 $d = 1$。

3. 求解首项 $a_1$ 并验证

当 $n = 1$ 时，由 $2S_1 = a_2 a_1$ 得：
$2a_1 = (a_1 + d)a_1$
将 $d = 1$ 代入得：
$2a_1 = (a_1 + 1)a_1 \implies a_1^2 - a_1 = 0$
解得 $a_1 = 0$ 或 $a_1 = 1$。
经检验，当 $a_1 = 0, d = 1$ 时，$a_n = n - 1$，$2S_n = n(n-1) = a_{n+1}a_n$ 成立；
当 $a_1 = 1, d = 1$ 时，$a_n = n$，$2S_n = n(n+1) = a_{n+1}a_n$ 成立。
故 $a_1$ 的值为 $0$ 或 $1$。