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通项与前n项和的关系

第 nn 项 unu_n 与前 nn 项和 SnS_n 之间的关系。

这个知识点的练习题

  1. 1已知一个数列的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该数列是一个等差数列。 第 (a) 部分中数列的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比数列的前三个连续项，该等比数列的第 nn 项记为 vnv_n。求 mm…
  2. 2已知一个级数的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该级数的各项构成等差数列。 (a) 部分中该级数的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比级数的前三个连续项，且其第 nn 项由 vnv_n 给出。求 mm 的值…
  3. 3考虑 Sn=21×2×3+22×3×4+23×4×5+…+2n(n+1)(n+2)S_{n}=\dfrac{2}{1\times2\times3}+\dfrac{2}{2\times3\times4}+\dfrac{2}{3\times4\times5}+\ldots+\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}…
  4. 4已知{an}\left\{{a}_{n}\right\}是公差为22的等差数列，Sn{S}_{n}为{an}\left\{{a}_{n}\right\}的前nn项和，若S5=S3S_{5}=S_{3}，则a4=()a_{4}=(\quad)…
  5. 5数列 u1,u2,u3,…u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots 的前 nn 项和为 SnS_{n}，其中 Sn=∑r=1nurS_{n} = \sum_{r=1}^{n} u_{r}。已知 Sn=18−2n+13n−2S_{n} = 18 - \dfrac{2^{n+1}}{3^{n-2}}…
  6. 6数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 的前 nn 项和为 SnS_n，其中 Sn=∑r=1nurS_n = \sum_{r=1}^{n} u_r。已知 Sn=An2(n+1)−BnS_n = An^2(n + 1) - Bn 其中 AA 和 BB 是非零常…
  7. 7等差数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，数列{bn}\{b_{n}\}为等比数列，Sn=n2+nS_{n}\text{=}n^{2}\text{+}n，b1=a1,b2=a1a22.b_{1}\text{=}a_{1}\text{,}b_{2}\text{=}\dfrac{a_{1}a_{2}}{2}\text{.}…
  8. 8已知数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 的前 nn 项和 SnS_n 为 Sn=n2+4n.S_n = n^2 + 4n . 求 unu_n 关于 nn 的表达式。 由此证明该数列是一个等差数列。
  9. 9已知数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，首项为a1a_{1}，且44，ana_{n}，SnS_{n}成等差数列． (1)求数列{an}\{a_{n}\}的通项公式； (2)若an2=2bna_{n}^{2}={{2}^{{{b}_{n}}}}…
  10. 10数列{an}\{a_{n}\}中，Sn=4−an−12n−2S_{n}=4-a_{n}- \dfrac {1}{2^{n-2}}． ((Ⅰ))求a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4}； ((Ⅱ))…
  11. 11已知首项为11的数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，且an+1=13Sna_{n\text{+}1}\text{=}\dfrac{1}{3}S_{n}，数列{bn}\{b_{n}\}满足bn=log⁡3anb_{n}\text{=}\log_{3}a_{n}…
  12. 12数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=12u_1 = \frac{1}{2} 且 un+1=un−n2+n−1(n+2)!,对于所有 n≥1.u_{n+1} = u_n - \frac{n^2 + n - 1}{(n+2)!}, \quad \text{对于所有 } n \ge 1.…
  13. 13已知在数列{an}\{a_{n}\}中，a1=1a_{1}=1，其前nn项和为sns_{n}，且an=2sn22sn−1(n⩾2)(1)a_{n}= \dfrac {2 s_{ n }^{ 2 }}{2s_{n}-1}(n\geqslant 2)(1)证明{1sn}\{ \dfrac {1}{s_{n}}\}…
  14. 14已知SnS_{n}为数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和，Sn=1−anS_{n}=1-a_{n}，则S5=()S_{5}=(\quad) A. 3116\dfrac{31}{16} B. 312\dfrac{31}{2} C.…
  15. 15已知公差不为00的等差数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，且2Sn=an+1an2S_{n}=a_{n+1}a_{n}，则a1=a_{1}= ___ .
  16. 16已知数列{an}\{a_{n}\}的前nn项为和SnS_{n}，点(n,Snn)(n, \dfrac {S_{n}}{n})在直线y=12x+112y= \dfrac {1}{2}x+ \dfrac {11}{2}上.数列{bn}\{b_{n}\}…
  17. 17已知各项均为正数的数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，且a1=1a_{1}=1，an+1(an+1−1)=an(an+1).a_{n+1}(a_{n+1}-1)=a_{n}(a_{n}+1).若[x][x]表示不超过xx的最大整数，bn=[(n+1)22Sn]b_{n}=[\dfrac{(n+1)^{2}}{2S_{n}}]…
  18. 18已知数列{an}\{a_{n}\}中，a1=1a_{1}=1，a2=2a_{2}=2，且an+1=4an−3an−1(n∈N∗,n⩾2)a_{n+1}=4a_{n}-3a_{n-1}(n∈N^{*},n\geqslant 2)． ((Ⅰ))令bn=an+1−anb_{n}=a_{n+1}-a_{n}…
  19. 19数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=e10u_1 = \dfrac{e}{10} 且 对于所有 n≥2n \ge 2，un−un−1=e2n−1u_n - u_{n-1} = \dfrac{e}{2^{n-1}}。 使用裂项消去法证明： un=e10[11−10(12)n−1].u_n = \dfrac{e}{10}\left[11 - 10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right].…
  20. 20平面内有nn条直线，最多可将平面分成f(n)f(n)个区域，则f(n)f(n)的表达式为()(\quad) A. n+1          n+1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: B. 2n          2n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  21. 21已知数列{an}\{a_{n}\}中，a1=2a_{1}=2，a2=3a_{2}=3，其前nn项和SnS_{n}满足Sn+1+Sn−1=2Sn+1S_{n+1}+S_{n-1}=2S_{n}+1，其中n⩾2n\geqslant 2，n∈N∗n∈N^{*}…
  22. 22已知数列 u1,u2,u3,…u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots 的前 nn 项和 SnS_{n} 由 Sn=a(3n)+bn+cS_{n}=a(3^{n})+bn+c 给出，其中 a,ba, b 和 cc 是常数且 n≥1n\ge 1。 已知 u1=5,  u2=9u_{1}=5,\;u_{2}=9…
  23. 23已知Sn{S}_{n}为数列{an}\left\{{a}_{n}\right\}的前nn项和，a1=1{a}_{1}=1，2Sn=(n+1)an2{S}_{n}=(n+1){a}_{n}，则a5={a}_{5}=___；若存在唯一的正整数nn…
  24. 24一个等差数列的第九项、第五项和第二项是一个首项为 aa、公比为 rr 的等比数列的连续三项，其中 r≠1r \ne 1 且 a>0a > 0。求 rr 的值并推导证明该等比级数是收敛的。 利用在 (i) 中求得的 rr 值，求 nn…
  25. 25瑞安有一些纸牌，他把它们叠成金字塔。他首先叠起纸牌组成一个 1 层的金字塔，然后是另一个 2 层的金字塔，依此类推。不同层数 n 的金字塔如下图所示： 设 SnS_n 表示一个 nn 层金字塔中的纸牌数量。已知对于某些常数 a,ba,b 和…
  26. 26设数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，且 Sn=n2−4n+4S_{n}=n^{2}-4n+4． (1)求数列{an}\{a_{n}\}的通项公式； (2)设bn=an2nb_{n}= \dfrac {a_{n}}{2^{n}}…
  27. 27下列结论：正确的序号是 ___ ． ①△ABC①\triangle ABC中，若A>BA > B则一定有sin⁡A>sin⁡B\sin A > \sin B成立； ②②数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和Sn=n2−2n+1S_{n}=n^{2}-2n+1…
  28. 28已知数列满足 u0=2u_0 = 2 且对 n≥1n \ge 1 有 un=un−1+n3+(12)nu_n = u_{n-1} + n^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^n。 已知 ∑r=1nr3=n2(n+1)24\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}…
  29. 29已知数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，Sn=2an−3n(n∈N∗).(1)S_{n}=2a_{n}-3n(n∈N^{*}).(1)证明数列{an+3}\{a_{n}+3\}是等比数列，求出数列{an}\{a_{n}\}的通项公式； (2…
  30. 30数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和是SnS_{n}，a1=1a_{1}=1，2Sn=an+1(n∈N+)2S_{n}=a_{n+1}(n∈N_{+})，则an=a_{n}= ___．
  31. 31等差数列的第九项、第五项和第二项是一个首项为 aa、公比为 rr 的等比数列的连续项，其中 r≠1r \ne 1 且 a>0a > 0。求 rr 的值并推导说明该等比级数是收敛的。 利用在 (i) 中求得的 rr 的值，求最小的 nn…
  32. 32已知数列 uru_r 的前 nn 项和为 ∑r=1nur=1−n(n+1)!\displaystyle\sum_{r=1}^n u_r = 1 - \dfrac{n}{(n+1)!}。 求用 nn 表示的 unu_n（其中 n≥2n \ge 2），并将你的答案表示为单…
  33. 33等比数列的前 nn 项和 SnS_n 由 Sn=6−23n−1S_n = 6 - \dfrac{2}{3^{n-1}} 给出。求其首项和公比。
  34. 34已知向量a→=(2,−n) \overrightarrow{a}=(2,-n)，b→=(Sn,n+1) \overrightarrow{b}=(S_{n},n+1)，n∈N∗n∈N^{*}，其中SnS_{n}是数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和，…