已知数列 $u_1, u_2, u_3, \dots$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为
$S_n = n^2 + 4n .$

1. 当 $n \ge 2$ 时，利用 $u_n = S_n - S_{n-1}$ 推导 $u_n$ 的含 $n$ 代数式

已知 $S_n = n^2 + 4n$。
当 $n \ge 2$ 时，
$S_{n-1} = (n-1)^2 + 4(n-1) = (n^2 - 2n + 1) + (4n - 4) = n^2 + 2n - 3$
因此，
$u_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 4n) - (n^2 + 2n - 3) = 2n + 3$

2. 验证 $n = 1$ 时表达式是否适用，确定通项公式 $u_n$

当 $n = 1$ 时，$u_1 = S_1 = 1^2 + 4(1) = 5$。
将 $n = 1$ 代入 $u_n = 2n + 3$，得 $2(1) + 3 = 5$，与 $u_1$ 相符。
故通项公式为 $u_n = 2n + 3$（$n \ge 1$）。

3. 计算后项与前项之差，证明该数列是等差数列

计算相邻两项的差：
$u_{n+1} - u_n = [2(n+1) + 3] - (2n + 3) = (2n + 5) - (2n + 3) = 2$
因为 $u_{n+1} - u_n = 2$ 为常数（独立于 $n$），所以该数列是首项为 $5$、公差为 $2$ 的等差数列。