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Relationship un sn

Relationship between $u_n$ (the $n$ th term) and $S_n$ (the sum to $n$ terms).

Practice questions

1The sum of the first $n$ terms of a series is given by $S_n = 3n(n + 2)$ . Show that this series follows an arithmetic pr…
2The sum of the first $n$ terms of a series is given by $S_n = 3n(n + 2)$ . Show that this series follows an arithmetic pr…
3Consider $S_{n}=\dfrac{2}{1\times2\times3}+\dfrac{2}{2\times3\times4}+\dfrac{2}{3\times4\times5}+\ldots+\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}$ …
4已知 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 是公差为 $2$ 的等差数列， ${S}_{n}$ 为 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{5}=S_{3}$ ，则 $a_{4}=(\quad)$ …
5A sequence of numbers $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots$ has sum $S_{n}$ where $S_{n} = \sum_{r=1}^{n} u_{r}$ . It is given th…
6A sequence of numbers $u_1, u_2, u_3, \dots$ has a sum $S_n$ where $S_n = \sum_{r=1}^{n} u_r$ . It is given that $S_n = An^2(n + 1) - Bn$ …
7等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $S_{n}\text{=}n^{2}\text{+}n$ ， $b_{1}\text{=}a_{1}\text{,}b_{2}\text{=}\dfrac{a_{1}a_{2}}{2}\text{.}$ …
8The sum, $S_n$ , of the first $n$ terms of the sequence $u_1, u_2, u_3, \dots$ is given by $S_n = n^2 + 4n .$ Find $u_n$ …
9已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项为 $a_{1}$ ，且 $4$ ， $a_{n}$ ， $S_{n}$ 成等差数列． (1)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2)若 $a_{n}^{2}={{2}^{{{b}_{n}}}}$ …
10数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}=4-a_{n}- \dfrac {1}{2^{n-2}}$ ． $($ Ⅰ $)$ 求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ； $($ Ⅱ $)$ …
11已知首项为 $1$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n\text{+}1}\text{=}\dfrac{1}{3}S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n}\text{=}\log_{3}a_{n}$ …
12A sequence $u_1, u_2, u_3, \dots$ is such that $u_1 = \frac{1}{2}$ and $u_{n+1} = u_n - \frac{n^2 + n - 1}{(n+2)!}, \quad \text{for all } n \ge 1.$ …
13已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}=1$ ，其前 $n$ 项和为 $s_{n}$ ，且 $a_{n}= \dfrac {2 s_{ n }^{ 2 }}{2s_{n}-1}(n\geqslant 2)(1)$ 证明 $\{ \dfrac {1}{s_{n}}\}$ …
14已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n}=1-a_{n}$ ，则 $S_{5}=(\quad)$ A. $\dfrac{31}{16}$ B. $\dfrac{31}{2}$ C.…
15已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2S_{n}=a_{n+1}a_{n}$ ，则 $a_{1}=$ ___ .
16已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项为和 $S_{n}$ ，点 $(n, \dfrac {S_{n}}{n})$ 在直线 $y= \dfrac {1}{2}x+ \dfrac {11}{2}$ 上.数列 $\{b_{n}\}$ …
17已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}(a_{n+1}-1)=a_{n}(a_{n}+1).$ 若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $b_{n}=[\dfrac{(n+1)^{2}}{2S_{n}}]$ …
18已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}=1$ ， $a_{2}=2$ ，且 $a_{n+1}=4a_{n}-3a_{n-1}(n∈N^{*},n\geqslant 2)$ ． $($ Ⅰ $)$ 令 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ …
19A sequence $u_1, u_2, u_3, \dots$ is such that $u_1 = \dfrac{e}{10}$ and $u_n - u_{n-1} = \dfrac{e}{2^{n-1}}$ , for all $n \ge 2$ …
20平面内有 $n$ 条直线，最多可将平面分成 $f(n)$ 个区域，则 $f(n)$ 的表达式为 $(\quad)$ A. $n+1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ B. $2n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ …
21已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}=2$ ， $a_{2}=3$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n+1}+S_{n-1}=2S_{n}+1$ ，其中 $n\geqslant 2$ ， $n∈N^{*}$ …
22The sum, $S_{n}$ , of the first $n$ terms of a sequence $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots$ is given by $S_{n}=a(3^{n})+bn+c$ , w…
23已知 ${S}_{n}$ 为数列 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和， ${a}_{1}=1$ ， $2{S}_{n}=(n+1){a}_{n}$ ，则 ${a}_{5}=$ ___；若存在唯一的正整数 $n$ …
24The ninth, fifth and second terms of an arithmetic progression are successive terms of a geometric progression with firs…
25Ryan has playing cards which he stacks into pyramids. He will begin by stacking up cards to form a pyramid with 1 level,…
26设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}=n^{2}-4n+4$ ． (1)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2)设 $b_{n}= \dfrac {a_{n}}{2^{n}}$ …
27下列结论：正确的序号是 ___ ． $①\triangle ABC$ 中，若 $A > B$ 则一定有 $\sin A > \sin B$ 成立； $②$ 数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-2n+1$ …
28A sequence is such that $u_0 = 2$ and $u_n = u_{n-1} + n^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$ for $n \ge 1$ . It is given that…
29已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n}=2a_{n}-3n(n∈N^{*}).(1)$ 证明数列 $\{a_{n}+3\}$ 是等比数列，求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2…
30数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ， $a_{1}=1$ ， $2S_{n}=a_{n+1}(n∈N_{+})$ ，则 $a_{n}=$ ___．
31The ninth, fifth and second terms of an arithmetic progression are successive terms of a geometric progression with firs…
32The sum of the first $n$ terms of a sequence, $u_r$ , is given by $\displaystyle\sum_{r=1}^n u_r = 1 - \dfrac{n}{(n+1)!}$ …
33The sum, $S_n$ , of the first $n$ terms of a geometric progression is given by $S_n = 6 - \dfrac{2}{3^{n-1}}$ . Find the f…
34已知向量 $\overrightarrow{a}=(2,-n)$ ， $\overrightarrow{b}=(S_{n},n+1)$ ， $n∈N^{*}$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，…