已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项为和$S_{n}$，点$(n, \dfrac {S_{n}}{n})$在直线$y= \dfrac {1}{2}x+ \dfrac {11}{2}$上.数列$\{b_{n}\}$满足$b_{n+2}-2b_{n+1}+b_{n}=0(n∈N^{*})$，且$b_{3}=11$，前$9$项和为$153$． (1)求数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的通项公式； (2)求数列$\{(a_{n}-5)\cdot 2^{a_{n}}\}$的前$n$项和$T_{n}(3)$设$n∈N^{*}$，$f(n)= \begin{cases} \overset{a_{n},n{为奇数}}{b_{n},n{为偶数}}\end{cases}$问是否存在$m∈N^{*}$，使得$f(m+15)=5f(m)$成立？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由．

1. 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

由题意，点 $(n, \dfrac{S_n}{n})$ 在直线 $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{11}{2}$ 上，得：
$\frac{S_n}{n} = \frac{1}{2}n + \frac{11}{2} \implies S_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{11}{2}n$
当 $n = 1$ 时，$a_1 = S_1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{11}{2} = 6$；
当 $n \ge 2$ 时，
$a_n = S_n - S_{n-1} = \left(\frac{1}{2}n^2 + \frac{11}{2}n\right) - \left(\frac{1}{2}(n-1)^2 + \frac{11}{2}(n-1)\right) = n + 5$
当 $n = 1$ 时，$a_1 = 1 + 5 = 6$ 符合上式，故 $a_n = n + 5$ ($n \in \mathbb{N}^*$)。

2. 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式

由 $b_{n+2} - 2b_{n+1} + b_n = 0$，得 $b_{n+2} - b_{n+1} = b_{n+1} - b_n$，说明 $\{b_n\}$ 为等差数列。
设 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$。由前 $9$ 项和 $S_9^{(b)} = 9 b_5 = 153$，可得 $b_5 = 17$。
已知 $b_3 = 11$，根据等差数列通项性质：
$b_5 - b_3 = 2d \implies 17 - 11 = 2d \implies d = 3$
所以 $b_n = b_3 + (n - 3)d = 11 + 3(n - 3) = 3n + 2$ ($n \in \mathbb{N}^*$)。

1. 化简通项并写出 $T_n$ 的展开式

因为 $a_n = n + 5$，所以 $a_n - 5 = n$，$2^{a_n} = 2^{n+5}$。
数列 $\{(a_n - 5) \cdot 2^{a_n}\}$ 的通项为 $c_n = n \cdot 2^{n+5}$。
则前 $n$ 项和 $T_n$ 为：
$T_n = 1 \cdot 2^6 + 2 \cdot 2^7 + 3 \cdot 2^8 + \dots + n \cdot 2^{n+5}$

2. 用错位相减法求和 $T_n$

两边同乘以 $2$，得：
$2 T_n = 1 \cdot 2^7 + 2 \cdot 2^8 + \dots + (n - 1) \cdot 2^{n+5} + n \cdot 2^{n+6}$
两式相减，得：
$-T_n = 2^6 + 2^7 + 2^8 + \dots + 2^{n+5} - n \cdot 2^{n+6}$
利用等比数列求和公式：
$2^6 + 2^7 + \dots + 2^{n+5} = \frac{2^6(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+6} - 64$
代入得：
$-T_n = 2^{n+6} - 64 - n \cdot 2^{n+6} = (1 - n) \cdot 2^{n+6} - 64$
解得 $T_n = (n - 1) \cdot 2^{n+6} + 64$。

1. 对 $m$ 的奇偶性分类讨论并列出方程

由题意，分段函数 $f(n)$ 的解析式为：
$f(n) = \begin{cases} n + 5, & n \text{ 为奇数} \\ 3n + 2, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$
由于 $15$ 是奇数，所以 $m$ 与 $m + 15$ 的奇偶性相反。

情形 1：当 $m$ 为奇数时，$m + 15$ 为偶数。
此时 $f(m) = a_m = m + 5$，$f(m + 15) = b_{m+15} = 3(m + 15) + 2 = 3m + 47$。
由 $f(m + 15) = 5f(m)$ 得：
$3m + 47 = 5(m + 5) \implies 3m + 47 = 5m + 25 \implies 2m = 22 \implies m = 11$
经检验，$m = 11$ 为奇数，满足条件。

2. 讨论另一种情形并得出最终结论

情形 2：当 $m$ 为偶数时，$m + 15$ 为奇数。
此时 $f(m) = b_m = 3m + 2$，$f(m + 15) = a_{m+15} = (m + 15) + 5 = m + 20$。
由 $f(m + 15) = 5f(m)$ 得：
$m + 20 = 5(3m + 2) \implies m + 20 = 15m + 10 \implies 14m = 10 \implies m = \frac{5}{7}$
因为 $m = \frac{5}{7} \notin \mathbb{N}^*$，无正整数解。

综上所述，存在正整数 $m = 11$，使得 $f(m + 15) = 5f(m)$ 成立。