已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，首项为$a_{1}$，且$4$，$a_{n}$，$S_{n}$成等差数列． (1)求数列$\{a_{n}\}$的通项公式； (2)若$a_{n}^{2}={{2}^{{{b}_{n}}}}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}.$

1. 根据等差中项性质建立 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系，并求出首项 $a_1$

因为 $4$，$a_n$，$S_n$ 成等差数列，所以 $2a_n = 4 + S_n$，即 $S_n = 2a_n - 4$．
当 $n = 1$ 时，$S_1 = a_1$，得 $a_1 = 2a_1 - 4$，解得 $a_1 = 4$．

2. 利用 $a_n = S_n - S_{n-1}$ 推导递推公式并求出通项公式 $a_n$

当 $n \ge 2$ 时，$S_n = 2a_n - 4$，$S_{n-1} = 2a_{n-1} - 4$．
两式相减得：
$a_n = S_n - S_{n-1} = (2a_n - 4) - (2a_{n-1} - 4) = 2a_n - 2a_{n-1}$
整理得 $a_n = 2a_{n-1}$ ($n \ge 2$)．
又因为 $a_1 = 4 \neq 0$，所以数列 $\{a_n\}$ 是以 $4$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列．
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 4 \times 2^{n-1} = 2^{n+1}$．

1. 复用 $a_n$ 的通项公式求出 $b_n$ 的通项表达式

由 (1) 知 $a_n = 2^{n+1}$，代入 $a_n^2 = 2^{b_n}$ 得：
$(2^{n+1})^2 = 2^{b_n} \implies 2^{2n+2} = 2^{b_n}$
由指数相等可得 $b_n = 2n + 2$．

2. 判断 $\{b_n\}$ 的类型并求其前 $n$ 项和 $T_n$

因为 $b_n = 2n + 2$，所以数列 $\{b_n\}$ 是首项 $b_1 = 4$，公差 $d = 2$ 的等差数列．
其前 $n$ 项和为：
$T_n = \frac{n(b_1 + b_n)}{2} = \frac{n(4 + 2n + 2)}{2} = n(n + 3) = n^2 + 3n$