已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{2}=3$，其前$n$项和$S_{n}$满足$S_{n+1}+S_{n-1}=2S_{n}+1$，其中$n\geqslant 2$，$n∈N^{*}$． $($Ⅰ$)$求证：数列$\{a_{n}\}$为等差数列，并求其通项公式； $($Ⅱ$)$设$b_{n}=a_{n}⋅2^{-n}$，$T_{n}$为数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和． $①$求$T_{n}$的表达式； $②$求使$T_{n} > 2$的$n$的取值范围．

1. 将 $S_n$ 的递推关系转化为 $a_n$ 的递推关系

由题意，当 $n \geqslant 2$ 时，$S_{n+1} + S_{n-1} = 2S_{n} + 1$，
变形得：$(S_{n+1} - S_{n}) - (S_{n} - S_{n-1}) = 1$．
因为 $S_{n+1} - S_{n} = a_{n+1}$，$S_{n} - S_{n-1} = a_{n}$，
所以 $a_{n+1} - a_{n} = 1$（$n \geqslant 2$）．

2. 验证 $n=1$ 时公差成立，得出数列 $\{a_n\}$ 为等差数列

当 $n=1$ 时，$a_{2} - a_{1} = 3 - 2 = 1$．
因此，对于任意 $n \in \mathbb{N}^*$，均有 $a_{n+1} - a_{n} = 1$．
所以数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $a_{1} = 2$，公差 $d = 1$ 的等差数列．

3. 求解通项公式 $a_n$

由等差数列通项公式，得：
$a_{n} = a_{1} + (n - 1)d = 2 + (n - 1) imes 1 = n + 1$．

1. 写出 $b_n$ 及 $T_n$ 的展开式

由(Ⅰ)知 $a_{n} = n + 1$，则 $b_{n} = (n + 1) \cdot 2^{-n} = \dfrac{n+1}{2^{n}}$．
$T_{n} = \dfrac{2}{2^{1}} + \dfrac{3}{2^{2}} + \dfrac{4}{2^{3}} + \dots + \dfrac{n+1}{2^{n}}$ ①

2. 利用错位相减法作差

方程①两边同乘以 $\dfrac{1}{2}$ 得：
$\dfrac{1}{2}T_{n} = \dfrac{2}{2^{2}} + \dfrac{3}{2^{3}} + \dots + \dfrac{n}{2^{n}} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$ ②
① - ② 得：
\dfrac{1}{2}T_{n} = \dfrac{2}{2^{1}} + \left( \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{2^{3}} + \dots + \dfrac{1}{2^{n}} ight) - \dfrac{n+1}{2^{n+1}}

3. 求和并化简得到 $T_n$

中间括号内为首项为 $\dfrac{1}{4}$、公比为 $\dfrac{1}{2}$ 的等比数列前 $n-1$ 项和：
\dfrac{1}{2}T_{n} = 1 + \dfrac{\dfrac{1}{4}\left(1 - \left(\dfrac{1}{2} ight)^{n-1} ight)}{1 - \dfrac{1}{2}} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}}
= 1 + \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2^{n-1}} ight) - \dfrac{n+1}{2^{n+1}}
$= \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2^{n}} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{n+3}{2^{n+1}}$．
两边同乘以 2，得：
$T_{n} = 3 - \dfrac{n+3}{2^{n}}$．

1. 将不等式 $T_n > 2$ 化简为关于 $n$ 的简单指数不等式

由 $T_{n} = 3 - \dfrac{n+3}{2^{n}}$，不等式 $T_{n} > 2$ 即：
$3 - \dfrac{n+3}{2^{n}} > 2$
解得 $\dfrac{n+3}{2^{n}} < 1$，即 $2^{n} > n + 3$．

2. 通过检验正整数 $n$ 确定满足不等式的 $n$ 的取值范围

当 $n = 1$ 时，$2^{1} = 2 < 1 + 3 = 4$，不满足；
当 $n = 2$ 时，$2^{2} = 4 < 2 + 3 = 5$，不满足；
当 $n = 3$ 时，$2^{3} = 8 > 3 + 3 = 6$，满足；
当 $n = 4$ 时，$2^{4} = 16 > 4 + 3 = 7$，满足．
由于当 $n \geqslant 3$ 时，指数函数 $2^n$ 的增长速度远大于一次函数 $n+3$，故对于所有的 $n \geqslant 3$（$n \in \mathbb{N}^*$），均有 $2^n > n + 3$ 成立．
所以使 $T_{n} > 2$ 的 $n$ 的取值范围是 $n \geqslant 3$（$n \in \mathbb{N}^*$）．