已知各项均为正数的数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{1}=1$，$a_{n+1}(a_{n+1}-1)=a_{n}(a_{n}+1).$若$[x]$表示不超过$x$的最大整数，$b_{n}=[\dfrac{(n+1)^{2}}{2S_{n}}]$，则数列$\{b_{n}\}$的前$2021$项和$T_{2021}=(\quad)$

A. $1010$

B. $1011$

C. $2021$

D. $2022$

1. 由递推公式求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

由已知 $a_{n+1}(a_{n+1}-1)=a_n(a_n+1)$，展开并移项得：
$a_{n+1}^2 - a_{n+1} = a_n^2 + a_n$
$a_{n+1}^2 - a_n^2 = a_{n+1} + a_n$
利用平方差公式因式分解：
$(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n) = a_{n+1}+a_n$
因为数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，所以 $a_{n+1}+a_n > 0$。
等式两边同除以 $a_{n+1}+a_n$，得：
$a_{n+1} - a_n = 1$
又已知 $a_1 = 1$，所以 $\{a_n\}$ 是以 $1$ 为首项，$1$ 为公差的等差数列，其通项公式为：
$a_n = n$

2. 求 $S_n$ 及化简 $\dfrac{(n+1)^2}{2S_n}$ 的表达式

数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为：
$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$
将其代入 $b_n$ 的表达式中：
$\frac{(n+1)^2}{2S_n} = \frac{(n+1)^2}{2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}} = \frac{(n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$

3. 分类讨论求 $b_n$ 并计算 $T_{2021}$

根据取整函数的定义，分析 $b_n = \left[1 + \frac{1}{n}\right]$ 的取值：

• 当 $n = 1$ 时，$b_1 = \left[1 + 1\right] = [2] = 2$；
• 当 $n \ge 2$ 时，因为 $0 < \frac{1}{n} \le \frac{1}{2}$，所以 $1 < 1 + \frac{1}{n} \le 1.5 < 2$，故 $b_n = \left[1 + \frac{1}{n}\right] = 1$。

因此，数列 $\{b_n\}$ 的前 $2021$ 项和 $T_{2021}$ 为：
$T_{2021} = b_1 + (b_2 + b_3 + \dots + b_{2021}) = 2 + 2020 \times 1 = 2022$
故正确选项为 D。