已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$S_{n}=2a_{n}-3n(n∈N^{*}).(1)$证明数列$\{a_{n}+3\}$是等比数列，求出数列$\{a_{n}\}$的通项公式； (2)设$b_{n}= \dfrac {n}{3}a_{n}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$； (3)数列$\{a_{n}\}$中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

1. 由 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系推导递推公式及首项

当 $n = 1$ 时，$S_1 = a_1 = 2a_1 - 3 \cdot 1$，解得 $a_1 = 3$，所以 $a_1 + 3 = 6$.
当 $n \ge 2$ 时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (2a_n - 3n) - [2a_{n-1} - 3(n-1)]$.
整理得 $a_n = 2a_n - 2a_{n-1} - 3$，即 $a_n = 2a_{n-1} + 3$.

2. 证明等比关系并求出 $a_n$ 的通项公式

在 $a_n = 2a_{n-1} + 3$ 两边同时加上 $3$，得：
$a_n + 3 = 2a_{n-1} + 6 = 2(a_{n-1} + 3)$
又因为 $a_1 + 3 = 6 \neq 0$，
所以数列 $\{a_n + 3\}$ 是以 $6$ 为首项，公比为 $2$ 的等比数列。
因此 $a_n + 3 = 6 \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^n$，
解得 $a_n$ 的通项公式为 $a_n = 3 \cdot 2^n - 3$.

1. 表示 $b_n$ 并将其拆分为两部分

由 (1) 知 $a_n = 3 \cdot 2^n - 3$，代入 $b_n = \dfrac{n}{3} a_n$ 得：
$b_n = \dfrac{n}{3} (3 \cdot 2^n - 3) = n \cdot 2^n - n$
设 $A_n = \sum_{k=1}^n k \cdot 2^k$，$B_n = \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$，则 $T_n = A_n - B_n$.

2. 用错位相减法求 $A_n = \sum_{k=1}^n k \cdot 2^k$

$A_n = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n$
两边同乘以 $2$ 得：
$2A_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) 2^n + n \cdot 2^{n+1}$
两式相减得：
$-A_n = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}$
其中前 $n$ 项和为等比数列求和：
$2^1 + 2^2 + \dots + 2^n = \dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$
代入得 $-A_n = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1} = (1 - n) 2^{n+1} - 2$，
所以 $A_n = (n - 1) 2^{n+1} + 2$.

3. 合成计算出 $T_n$

结合 $B_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$，可得：
$T_n = A_n - B_n = (n - 1) 2^{n+1} + 2 - \dfrac{n(n+1)}{2}$

1. 假设存在三项成等差数列并列出方程

假设数列 $\{a_n\}$ 中存在三项 $a_p, a_q, a_r$ ($p, q, r \in \mathbb{N}^*$) 构成等差数列。
因为 $a_n = 3 \cdot 2^n - 3$ 是单调递增数列，所以若三项构成等差数列，必有项数满足 $p < q < r$，且：
$a_p + a_r = 2a_q$
代入通项公式得：
$3(2^p - 1) + 3(2^r - 1) = 2 \cdot 3(2^q - 1)$

2. 化简方程并进行奇偶性分析得出矛盾

两边同时除以 $3$ 并整理：
$2^p + 2^r - 2 = 2^{q+1} - 2 \implies 2^p + 2^r = 2^{q+1}$
两边同时除以 $2^p$，得：
$1 + 2^{r-p} = 2^{q+1-p}$
因为 $1 \le p < q < r$，且 $p, q, r \in \mathbb{N}^*$，
所以 $q + 1 - p \ge 2$，则 $2^{q+1-p}$ 为偶数；
且 $r - p \ge 2$，则 $2^{r-p}$ 为偶数，故 $1 + 2^{r-p}$ 为奇数。
等式左边为奇数，右边为偶数，奇数不可能等于偶数，产生矛盾！
因此，数列 $\{a_n\}$ 中不存在可以构成等差数列的三项。