已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，且$a_{n+1}=4a_{n}-3a_{n-1}(n∈N^{*},n\geqslant 2)$． $($Ⅰ$)$令$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$，求证：数列$\{b_{n}\}$为等比数列； $($Ⅱ$)$求$a_{n}$．

1. 计算首项 $b_1$ 的值

由题意，当 $n=1$ 时，$b_{1} = a_{2} - a_{1} = 2 - 1 = 1$。

2. 推导 $b_n$ 与 $b_{n-1}$ 之间的比例关系

当 $n \geqslant 2$ 时，已知 $a_{n+1} = 4a_{n} - 3a_{n-1}$，
两边同时减去 $a_n$，得：
$a_{n+1} - a_n = 3a_n - 3a_{n-1} = 3(a_n - a_{n-1})$
即 $b_n = 3 b_{n-1}$ ($n \geqslant 2$)。

3. 得出结论，判定等比数列

因为 $b_1 = 1 eq 0$，且对任意 $n \geqslant 2$ 都有 $\dfrac{b_n}{b_{n-1}} = 3$（常数），
所以数列 $\{b_n\}$ 是以 $1$ 为首项，$3$ 为公比的等比数列。

1. 写出等比数列 $b_n$ 的通项公式

由第 (Ⅰ) 问可知，$\{b_{n}\}$ 是以 $1$ 为首项，$3$ 为公比的等比数列，
故 $b_{n} = 1 \times 3^{n-1} = 3^{n-1}$。

2. 运用累加法表达 $a_n$

当 $n \geqslant 2$ 时，由 $b_k = a_{k+1} - a_k$ 可得：
$a_n = a_1 + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \dots + (a_n - a_{n-1})$
$a_n = a_1 + b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}$

3. 求和并化简得到 $a_n$ 通项公式

代入 $a_1 = 1$ 和 $b_k = 3^{k-1}$：
$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = 1 + \frac{1 \cdot (3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = 1 + \frac{3^{n-1} - 1}{2} = \frac{3^{n-1} + 1}{2}$
当 $n = 1$ 时，$a_1 = \frac{3^0 + 1}{2} = 1$，符合上式。
因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = \dfrac{3^{n-1} + 1}{2}$。