已知${S}_{n}$为数列$\left\{{a}_{n}\right\}$的前$n$项和，${a}_{1}=1$，$2{S}_{n}=(n+1){a}_{n}$，则${a}_{5}=$；若存在唯一的正整数$n$使得不等式$a_{n}^{2}-t{a}_{n}-2{t}^{2}⩽0$成立，实数$t$的取值范围为.

1. 利用 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系求出数列的通项公式 $a_n$，并求得 $a_5$ 的值

已知 $2S_n = (n+1)a_n$，当 $n \geqslant 2$ 时，有 $2S_{n-1} = n a_{n-1}$。
两式相减得：$2(S_n - S_{n-1}) = (n+1)a_n - n a_{n-1}$。
因为 $S_n - S_{n-1} = a_n$，所以 $2a_n = (n+1)a_n - n a_{n-1}$，
整理得 $(n-1)a_n = n a_{n-1}$。
由于 $n \geqslant 2$，上式可变形为 $\dfrac{a_n}{n} = \dfrac{a_{n-1}}{n-1}$。
这说明数列 $\left\{\dfrac{a_n}{n}\right\}$ 是常数数列。
又因为 $a_1 = 1$，所以 $\dfrac{a_n}{n} = \dfrac{a_1}{1} = 1$，即 $a_n = n$。
当 $n=5$ 时，$a_5 = 5$。

2. 将通项公式代入不等式中并进行因式分解

将 $a_n = n$ 代入不等式 $a_n^2 - t a_n - 2t^2 \leqslant 0$，
得到关于 $n$ 的一元二次不等式：$n^2 - tn - 2t^2 \leqslant 0$。
因式分解得：$(n - 2t)(n + t) \leqslant 0$。
对应的二次方程的两个根为 $x_1 = 2t$，$x_2 = -t$。

3. 分情况讨论 $t$ 的正负，利用存在唯一正整数解的条件确定 $t$ 的取值范围

由于存在唯一的正整数 $n$ 满足该不等式，我们对 $t$ 的取值进行分类讨论：
① 若 $t > 0$，则 $-t < 0 < 2t$，不等式的解集为 $[-t, 2t]$。
由于 $n$ 必须是正整数，若区间 $[-t, 2t]$ 内有且仅有一个正整数，该正整数只能是 $1$。
因此必须满足 $2t \geqslant 1$ 且 $2t < 2$，解得 $\frac{1}{2} \leqslant t < 1$。

② 若 $t < 0$，则 $2t < 0 < -t$，不等式的解集为 $[2t, -t]$。
同理，若区间 $[2t, -t]$ 内有且仅有一个正整数，该正整数只能是 $1$。
因此必须满足 $-t \geqslant 1$ 且 $-t < 2$，解得 $-2 < t \leqslant -1$。

③ 若 $t = 0$，不等式化为 $n^2 \leqslant 0$，无正整数解，不符合题意。

综上所述，实数 $t$ 的取值范围为 $(-2, -1] \cup [\frac{1}{2}, 1)$。