已知向量a→=(2,−n) \overrightarrow{a}=(2,-n),b→=(Sn,n+1) \overrightarrow{b}=(S_{n},n+1),n∈N∗n∈N^{*},其中SnS_{n}是数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和,若a→⊥b→ \overrightarrow{a}⊥ \overrightarrow{b},则数列{anan+1an+4}\{ \dfrac {a_{n}}{a_{n+1}a_{n+4}}\}的最大项的值为()()
A. 19 \dfrac {1}{9}
B. 23 \dfrac {2}{3}
C. −19- \dfrac {1}{9}
D. −23- \dfrac {2}{3}

先不看答案,让 AI 诊断你卡在哪里?

它不会直接告诉你答案,而是问你卡在哪一步看看 AI 是怎么陪你一步步弄懂这道题的

完整解法

1. 利用向量垂直的坐标表示求出 $S_n$ 的表达式

因为 a→⊥b→\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b},所以它们的数量积为 00:
a→⋅b→=2Sn−n(n+1)=0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2S_n - n(n+1) = 0

由此解得数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为:
Sn=n(n+1)2S_n = \frac{n(n+1)}{2}

2. 利用 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系求出数列的通项公式 $a_n$

当 n=1n = 1 时,
a1=S1=1×22=1a_1 = S_1 = \frac{1 \times 2}{2} = 1

当 n⩾2n \geqslant 2 时,
an=Sn−Sn−1=n(n+1)2−(n−1)n2=na_n = S_n - S_{n-1} = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{(n-1)n}{2} = n

由于 a1=1a_1 = 1 也满足 an=na_n = n,因此数列 {an}\{a_n\} 的通项公式为:
an=n(n∈N∗)a_n = n \quad (n \in \mathbb{N}^*)

3. 将通项代入目标式,并利用基本不等式求其最大值

将 an=na_n = n 代入目标代数式,设其为 TnT_n:
Tn=anan+1an+4=n(n+1)(n+4)=nn2+5n+4T_n = \frac{a_n}{a_{n+1}a_{n+4}} = \frac{n}{(n+1)(n+4)} = \frac{n}{n^2 + 5n + 4}

因为 n∈N∗n \in \mathbb{N}^*,分子分母同除以 nn 可得:
Tn=1n+4n+5T_n = \frac{1}{n + \dfrac{4}{n} + 5}

由基本不等式,由于 n>0n > 0:
n+4n⩾2n⋅4n=4n + \frac{4}{n} \geqslant 2\sqrt{n \cdot \frac{4}{n}} = 4

当且仅当 n=4nn = \frac{4}{n},即 n=2n = 2 时等号成立。

此时分母取得最小值 4+5=94 + 5 = 9,所以 TnT_n 取得最大值 19\frac{1}{9}。

故选:A。

答案

A

AI 分析,可能出错

用 AI 批改,圈出写错的那一步,并自动将你的薄弱点存入错题本,形成你的错因库。

同一知识点的其他题

  1. 1用同样长的绳子分别围长方形、正方形、圆,面积从小到大的排列是()(\quad) A. 圆<<正方形<<长方形 B. 正方形<<长方形<<圆 C. 圆>>正方形>>长方形 D. 长方形<<正方形<<…
  2. 2若1⩽x⩽3⩽y⩽51\leqslant x\leqslant 3\leqslant y\leqslant 5,则()(\quad) A. 4⩽x+y⩽84\leqslant x+y\leqslant 8 B. x+y+1x+16yx+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{16}{y}…
  3. 3已知f(x)=∣2x+1∣+∣x−1∣.(Ⅰ)f(x)=\left|2x+1\right|+\left|x-1\right|.(Ⅰ)求f(x)f(x)在[−1,1][-1,1]上的最大值mm及最小值nn; (Ⅱ)(Ⅱ)在(Ⅰ)(Ⅰ)的条件下,设a,b∈Ra,b\in R…
  4. 4在△ABC\triangle ABC中,设边aa,bb,cc所对的角为AA,BB,CC,且AA,BB,CC都不是直角,(bc−8)cos⁡A+accos⁡B=a2−b2(bc-8)\cos A+ac\cos B=a^{2}-b^{2}…
  5. 5已知椭圆CC :x2a2+y2b2=1(a>b>0)\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) 的焦点FF 在直线x+y−1=0x+y-1=0 上,离心率为22.(1)\dfrac{\sqrt[]{2}}{2}.(1)…