1. 利用向量垂直的坐标表示求出 $S_n$ 的表达式
因为 a⊥b,所以它们的数量积为 0:
a⋅b=2Sn−n(n+1)=0
由此解得数列 {an} 的前 n 项和为:
Sn=2n(n+1)
2. 利用 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系求出数列的通项公式 $a_n$
当 n=1 时,
a1=S1=21×2=1
当 n⩾2 时,
an=Sn−Sn−1=2n(n+1)−2(n−1)n=n
由于 a1=1 也满足 an=n,因此数列 {an} 的通项公式为:
an=n(n∈N∗)
3. 将通项代入目标式,并利用基本不等式求其最大值
将 an=n 代入目标代数式,设其为 Tn:
Tn=an+1an+4an=(n+1)(n+4)n=n2+5n+4n
因为 n∈N∗,分子分母同除以 n 可得:
Tn=n+n4+51
由基本不等式,由于 n>0:
n+n4⩾2n⋅n4=4
当且仅当 n=n4,即 n=2 时等号成立。
此时分母取得最小值 4+5=9,所以 Tn 取得最大值 91。
故选:A。