平面内有$n$条直线，最多可将平面分成$f(n)$个区域，则$f(n)$的表达式为$(\quad)$

A. $n+1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

B. $2n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

C. $\dfrac{n^{2}+n+2}{2}$

D. $n^{2}+n+1$

1. 通过分析特殊情况，找出前几项的数值

当 $n=1$ 时，一条直线最多将平面分成 $f(1) = 2$ 个区域；
当 $n=2$ 时，两条直线最多将平面分成 $f(2) = 4$ 个区域；
当 $n=3$ 时，三条直线最多将平面分成 $f(3) = 7$ 个区域。

2. 推导递推关系式

分析相邻两项之间的关系，每增加第 $n$ 条直线，它与原有的 $n-1$ 条直线最多有 $n-1$ 个交点，这些交点将这第 $n$ 条直线分成 $n$ 段。
这 $n$ 个线段（或射线）分别将原有的 $n$ 个区域一分为二，因此新增加了 $n$ 个区域。
由此可得递推关系式：$f(n) - f(n-1) = n$（其中 $n \ge 2$），且 $f(1) = 2$。

3. 利用累加法求解通项公式

由递推关系得：
$f(2) - f(1) = 2$
$f(3) - f(2) = 3$
$\cdots$
$f(n) - f(n-1) = n$

将上述 $n-1$ 个等式左右两边分别累加，得：
$f(n) - f(1) = 2 + 3 + \cdots + n$

利用等差数列求和公式，有：
$2 + 3 + \cdots + n = \frac{(2 + n)(n - 1)}{2} = \frac{n^2 + n - 2}{2}$

因此：
$f(n) = f(1) + \frac{n^2 + n - 2}{2} = 2 + \frac{n^2 + n - 2}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$

对选项进行比对，C选项符合。

（另解：通过步骤1求得 $f(1)=2, f(2)=4, f(3)=7$，代入选项：
对于 $n=1$，A得2，B得2，C得2，D得3，排除D；
对于 $n=2$，A得3，B得4，C得4，排除A；
对于 $n=3$，B得6，C得7，排除B，故选C。）