设数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}\text{=}1$，$a_{2}\text{=}2$，${a}_{n+2}=(1+{{\rm\cos}}^{2}\dfrac{nπ}{2}){a}_{n}+{{\rm\sin}}^{2}\dfrac{nπ}{2}$，$n\text{=}1$，$2$，$3$，$\text{…}$，则数列$\{a_{n}\}$的前$20$项的和是___.

1. 分析三角函数项，按 $n$ 的奇偶性化简递推公式

当 $n$ 为奇数时，$\cos\dfrac{n\pi}{2} = 0$，$\sin^2\dfrac{n\pi}{2} = 1$，代入递推关系得：
$a_{n+2} = a_n + 1$
当 $n$ 为偶数时，$\cos^2\dfrac{n\pi}{2} = 1$，$\sin\dfrac{n\pi}{2} = 0$，代入递推关系得：
$a_{n+2} = 2a_n$

2. 求奇数项数列 $\{a_{2k-1}\}$ 的通项与前 10 个奇数项之和

已知 $a_1 = 1$，递推关系为 $a_{2k+1} = a_{2k-1} + 1$。
因此，奇数项数列 $\{a_{2k-1}\}$ 是以 $a_1 = 1$ 为首项、公差 $d = 1$ 的等差数列。
通项公式为 $a_{2k-1} = k$。
前 10 个奇数项（即 $a_1, a_3, \dots, a_{19}$）的和为：
$S_{ ext{奇}} = \sum_{k=1}^{10} k = \dfrac{10 imes (1 + 10)}{2} = 55$

3. 求偶数项数列 $\{a_{2k}\}$ 的通项与前 10 个偶数项之和

已知 $a_2 = 2$，递推关系为 $a_{2k+2} = 2a_{2k}$。
因此，偶数项数列 $\{a_{2k}\}$ 是以 $a_2 = 2$ 为首项、公比 $q = 2$ 的等比数列。
通项公式为 $a_{2k} = 2^k$。
前 10 个偶数项（即 $a_2, a_4, \dots, a_{20}$）的和为：
$S_{ ext{偶}} = \sum_{k=1}^{10} 2^k = \dfrac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2 imes (1024 - 1) = 2046$

4. 将奇数项之和与偶数项之和相加，求出数列前 20 项的总和

数列 $\{a_n\}$ 的前 20 项和为前 10 个奇数项与前 10 个偶数项之和：
$S_{20} = S_{ ext{奇}} + S_{ ext{偶}} = 55 + 2046 = 2101$