市民小张计划贷款$60$万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款$($若$2019$年$7$月$7$日贷款到账，则$2019$年$8$月$7$日首次还款$).$ 已知小张该笔贷款年限为$20$年，月利率为$0.004.(1)$若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还$4900$元，最后一个还款月应还$2510$元，试计算小张该笔贷款的总利息； (2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为$1$万元，判断小张该笔贷款是否能够获批$($不考虑其他因素$)$； (3)对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式. 参考数据：$1.004^{240}≈2.61.$

1. 分析还款额构成等差数列并求总还款额

根据题意，采取等额本金的还款方式时，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同，这表明每月的还款额构成一个等差数列，记为 $\{a_n\}$。
已知还款总期数为 $20 \times 12 = 240$ 个月，即 $n = 240$。
首项 $a_1 = 4900$ 元，末项 $a_{240} = 2510$ 元。
根据等差数列求和公式，总还款额为：
$S_{240} = \frac{240(a_1 + a_{240})}{2} = 120 \times (4900 + 2510) = 889200\text{（元）}$

2. 计算贷款的总利息

由于总利息等于总还款额减去贷款本金，贷款本金为 $60$ 万元（即 $600000$ 元），
所以总利息为：
$I = 889200 - 600000 = 289200\text{（元）}$

1. 根据等额本息还款建立复利与等比数列方程

设等额本息方式下小张每月还款额为 $x$ 元，月利率 $r = 0.004$。
将每月还款额和贷款本金在第 240 个月（贷款期满时）的终值进行等值对应，可列出方程：
$x + x(1+0.004) + x(1+0.004)^2 + \dots + x(1+0.004)^{239} = 600000 \times (1+0.004)^{240}$
根据等比数列求和公式，方程左边化简得：
$x \cdot \frac{1 - 1.004^{240}}{1 - 1.004} = 600000 \times 1.004^{240}$
即：
$x \cdot \frac{1.004^{240} - 1}{0.004} = 600000 \times 1.004^{240}$

2. 计算每月还款额的近似值

由上式解得：
$x = \frac{600000 \times 0.004 \times 1.004^{240}}{1.004^{240} - 1}$
代入参考数据 $1.004^{240} \approx 2.61$：
$x \approx \frac{2400 \times 2.61}{2.61 - 1} = \frac{6264}{1.61} \approx 3891\text{（元）}$

3. 与限制条件比较并作出判断

银行规定每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半。
小张家庭平均月收入为 $1$ 万元（即 $10000$ 元），其一半为：
$10000 \times \frac{1}{2} = 5000\text{（元）}$
因为 $3891 < 5000$，满足银行规定，所以小张该笔贷款能够获批。

1. 计算等额本息贷款方式的总利息

复用第 (2) 问计算得出的等额本息每月还款额 $x \approx 3891$ 元，
小张采取等额本息贷款方式的总还款额为：
$3891 \times 240 = 933840\text{（元）}$
其总利息为：
$933840 - 600000 = 333840\text{（元）}$

2. 对比两方案利息并给出决策结论

对比两种方式的总利息：
等额本金总利息为 $289200$ 元，
等额本息总利息为 $333840$ 元。
因为 $333840 > 289200$，
所以等额本金还款方式的总利息更少，从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式。