已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{2}= \dfrac {1}{3}$，若$a_{n}a_{n-1}+2a_{n}a_{n+1}=3a_{n-1}a_{n+1}(n\geqslant 2,n∈N^{+})$，则数列$\{a_{n}\}$的通项$a_{n}=$ ___ ．

1. 变形递推公式，转化为差值关系

已知递推关系为：
$a_{n}a_{n-1}+2a_{n}a_{n+1}=3a_{n-1}a_{n+1} \quad (n\geqslant 2, n\in \mathbb{N}^{+})$
由于 $a_1=1$, $a_2=\frac{1}{3}$，易知 $a_n \neq 0$。两边同除以 $a_{n-1}a_n a_{n+1}$ 可得：
$\frac{1}{a_{n+1}} + \frac{2}{a_{n-1}} = \frac{3}{a_n}$
移项变形整理得：
$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 2 \left( \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}} \right)$

2. 确定差值数列的通项公式

设 $b_n = \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n}$ ($n \geqslant 1$)，则有：
$b_n = 2b_{n-1} \quad (n \geqslant 2)$
从而数列 $\{b_n\}$ 是以 $2$ 为公比的等比数列。
计算其首项：
$b_1 = \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_1} = 3 - 1 = 2$
因此，数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为：
$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

3. 利用累加法求出数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

当 $n \geqslant 2$ 时，采用累加法：
$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + \sum_{i=1}^{n-1} b_i = 1 + \sum_{i=1}^{n-1} 2^i$
利用等比数列的前 $n$ 项和公式求和可得：
$\frac{1}{a_n} = 1 + \frac{2(1 - 2^{n-1})}{1 - 2} = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$
当 $n = 1$ 时，$\frac{1}{a_1} = 1 = 2^1 - 1$，上式显然也成立。
因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为：
$a_n = \frac{1}{2^n - 1}$