已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}\text{=}1$，$a_{n\text{+}1}\text{=}\dfrac{a_{n}}{2\text{+}3a_{n}}(n{\in}N^{\text{*}})$，则下列结论正确的有$(\text{ })$

A. $\{\dfrac{1}{a_{n}}\text{+}3\}$为等比数列

B. $\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}\text{=}\dfrac{1}{2^{n\text{+}1}\text{-}3}$

C. $\{a_{n}\}$为递增数列

D. $\{\dfrac{1}{a_{n}}\}$的前$n$项和$T_{n}\text{=}2^{n\text{+}2}\text{-}3n\text{-}4$

1. 对递推公式取倒数并变形，证明 $\{\dfrac{1}{a_n} + 3\}$ 为等比数列（判断选项A）

已知 $a_1 = 1 > 0$，$a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2 + 3a_n}$，可得对任意 $n \in \mathbb{N}^*$ 均有 $a_n > 0$。
两边取倒数，得：
$\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{2 + 3a_n}{a_n} = \dfrac{2}{a_n} + 3$
设 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$，则 $b_{n+1} = 2b_n + 3$，两边同时加 $3$ 得：
$b_{n+1} + 3 = 2(b_n + 3)$
即 $\dfrac{1}{a_{n+1}} + 3 = 2\left(\dfrac{1}{a_n} + 3\right)$。
又首项为 $\dfrac{1}{a_1} + 3 = 1 + 3 = 4 \neq 0$，
所以数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n} + 3\right\}$ 是以 $4$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列。
故选项 A 正确。

2. 求出 $a_n$ 的通项公式，并判断其单调性（判断选项B与C）

由第 1 步可知 $\dfrac{1}{a_n} + 3$ 的通项公式为：
$\dfrac{1}{a_n} + 3 = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$
由此解得：
$\dfrac{1}{a_n} = 2^{n+1} - 3 \implies a_n = \dfrac{1}{2^{n+1} - 3}$
故选项 B 正确。

因为对任意 $n \in \mathbb{N}^*$，$2^{n+1} - 3 > 0$ 且分母 $2^{n+1} - 3$ 随 $n$ 的增大而严格单调递增，
所以 $a_n = \dfrac{1}{2^{n+1} - 3}$ 随 $n$ 的增大而严格单调递减，即 $\{a_n\}$ 为递减数列。
故选项 C 错误。

3. 计算 $\{\dfrac{1}{a_n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$（判断选项D）

由第 2 步知 $\dfrac{1}{a_n} = 2^{n+1} - 3$。
则数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为：
$T_n = \sum_{k=1}^n \left(2^{k+1} - 3\right) = \left(2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1}\right) - 3n$
利用等比数列求和公式可得：
$2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1} = \dfrac{4(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+2} - 4$
因此：
$T_n = 2^{n+2} - 4 - 3n = 2^{n+2} - 3n - 4$
故选项 D 正确。