已知数列$\{a_{n}\}$是一个首项为$a_{1}$，公比$q > 0$的等比数列，前$n$项和为$S_{n}$，记$T_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{2n-1}$，求$\lim\limits_{n→∞} \dfrac {S_{n}}{T_{n}}$ 的值．

1. 写出 $S_n$ 与 $T_n$ 的表达式

已知等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q > 0$。
前 $n$ 项和为 $S_n$。
按题意，记 $T_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{2n-1}$，即 $T_n = S_{2n-1}$。

当 $q \neq 1$ 时：
$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$
$T_n = S_{2n-1} = \frac{a_1(1 - q^{2n-1})}{1 - q}$
则 $\dfrac{S_n}{T_n} = \dfrac{1 - q^n}{1 - q^{2n-1}}$。

当 $q = 1$ 时：
$S_n = n a_1, \quad T_n = (2n - 1) a_1$

2. 按公比 $q$ 的范围分类讨论求极限

对公比 $q > 0$ 分三种情况讨论：

1. 当 $0 < q < 1$ 时：
   当 $n \to \infty$ 时，$q^n \to 0$，$q^{2n-1} \to 0$。
   $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{T_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - q^n}{1 - q^{2n-1}} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$

2. 当 $q = 1$ 时：
   $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{T_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n a_1}{(2n - 1) a_1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n - 1} = \frac{1}{2}$

3. 当 $q > 1$ 时：
   将分子分母同除以 $q^{2n-1}$：
   $\frac{S_n}{T_n} = \frac{q^{1-n} - q^{1-2n}}{1 - q^{1-2n}}$
   因为 $q > 1$，当 $n \to \infty$ 时 $q^{1-n} \to 0$，$q^{1-2n} \to 0$。
   $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{T_n} = \frac{0 - 0}{1 - 0} = 0$