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级数收敛与无穷求和

级数的收敛性与无穷和。

这个知识点的练习题

  1. 1已知 f(r)=r(r−1)!f(r)=\dfrac{r}{(r-1)!}，证明 f(r−1)−f(r)=r2−3r+1(r−1)!f(r-1)-f(r)=\dfrac{r^2-3r+1}{(r-1)!}。 由此求 ∑r=2nr2−3r+1(r−1)!\displaystyle\sum_{r=2}^{n} \frac{r^2-3r+1}{(r-1)!}…
  2. 2已知 f(r)=r(r−1)!f(r)=\dfrac{r}{(r-1)!}，证明 f(r−1)−f(r)=r2−3r+1(r−1)!f(r-1)-f(r)=\dfrac{r^2-3r+1}{(r-1)!}。 由此求 ∑r=2nr2−3r+1(r−1)!\displaystyle\sum_{r=2}^n \dfrac{r^2-3r+1}{(r-1)!}…
  3. 3证明 32r+1−42r+3+12r+5=8r+k(2r+1)(2r+3)(2r+5)\frac{3}{2r+1}-\frac{4}{2r+3}+\frac{1}{2r+5}=\frac{8r+k}{(2r+1)(2r+3)(2r+5)}，其中 kk 是待求常数。 由此求 ∑r=0n2r+7(2r+1)(2r+3)(2r+5)\sum_{r=0}^n \frac{2r+7}{(2r+1)(2r+3)(2r+5)}…
  4. 4通过将 3(3r+1)(3r+4)\frac{3}{(3r+1)(3r+4)} 写成部分分式，求出用 nn 表示的 ∑r=1n3(3r+1)(3r+4)\sum_{r=1}^{n} \frac{3}{(3r+1)(3r+4)}。 由此求出 322×125+325×128+328×131+⋯\frac{3}{22} \times \frac{1}{25} + \frac{3}{25} \times \frac{1}{28} + \frac{3}{28} \times \frac{1}{31} + \cdots…
  5. 5证明 7n−2−5n−1−2n=9n−4(n−2)(n−1)n\frac{7}{n-2} - \frac{5}{n-1} - \frac{2}{n} = \frac{9n-4}{(n-2)(n-1)n}。 由此求 ∑n=3N9n−4(n−2)(n−1)n\sum_{n=3}^{N} \frac{9n-4}{(n-2)(n-1)n}…
  6. 6已知数列{an}\{a_{n}\}是一个首项为a1a_{1}，公比q>0q > 0的等比数列，前nn项和为SnS_{n}，记Tn=a1+a2+a3+…+a2n−1T_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{2n-1}，求lim⁡n→∞SnTn \lim\limits_{n→∞} \dfrac {S_{n}}{T_{n}}…
  7. 7Anand 编写了一个计算机程序，用于在受控环境中模拟生物种群。假设在模拟期间没有生物死亡或离开该环境。 在模拟 A 中，第 1 天向环境中引入 200 个生物。在随后的每一天开始时，向环境中再引入 48 个生物。求在某天结束时，环境中的生…
  8. 8在上个月的第一天，一家制造厂内一台机器的温度被发现为 90∘C90^\circ\text{C}，主管认为该温度过高。每天，机器产生的废热作为副产品会导致机器温度上升 2∘C2^\circ\text{C}。为了降低温度，主管决定调整恒温器，并在每天…
  9. 9等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 aa 和 dd 均不为零。该等差数列的第一、第三和第七项是一个公比为 rr 的等比数列的三个连续正数项。 证明 r=2r=2。 等比数列的首项是该等差数列首项的十分之一。求最小的 nn…
  10. 10数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=12u_1 = \frac{1}{2} 且 un+1=un−n2+n−1(n+2)!,对于所有 n≥1.u_{n+1} = u_n - \frac{n^2 + n - 1}{(n+2)!}, \quad \text{对于所有 } n \ge 1.…
  11. 11通过将 2(2r+1)(2r+3)\frac{2}{(2r+1)(2r+3)} 化为部分分式，求出用 nn 表示 ∑r=2n2(2r+1)(2r+3)\sum_{r=2}^{n} \frac{2}{(2r+1)(2r+3)} 的表达式。 由此求出 219×121+221×123+223×125+…\frac{2}{19} \times \frac{1}{21} + \frac{2}{21} \times \frac{1}{23} + \frac{2}{23} \times \frac{1}{25} + \dots…
  12. 12将 44r2+12r+5\dfrac{4}{4r^{2}+12r+5} 表示为部分分式。 求 ∑r=2n44r2+12r+5\displaystyle\sum_{r=2}^{n} \dfrac{4}{4r^{2}+12r+5}。 数列 u1,u2,u3,…u_{1},u_{2},u_{3},\dots…
  13. 13已知数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=0u_1 = 0 且 un+1=un+4+n−n2[(n+1)(n+2)]2, 对所有 n∈Z+.u_{n+1} = u_n + \frac{4 + n - n^2}{[(n+1)(n+2)]^2}, \text{ 对所有 } n \in \mathbb{Z}^+.…
  14. 14树木学家是研究树木和木本植物的专业科学家。他们的工作多种多样，可以涵盖与树木鉴定、分类、生物学和生态学相关的各种活动。一组树木学家正在研究代号为“Vee树”（Tree Vee）和“Jay树”（Tree Jay）的两种树木的生长情况。…
  15. 15已知 1−2r=A(r+1)+Br1-2r = A(r+1) + Br，求常数 AA 和 BB。 利用裂项相消法求 ∑r=1n1−2r3r\displaystyle \sum_{r=1}^n \frac{1-2r}{3^r}。 由此求出 ∑r=1∞2−2r3r\displaystyle \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2-2r}{3^r}…
  16. 16求 π∫16x3 dx\pi \int_{1}^{6} x^3 \text{ d}x 的准确值。 图中给出了曲线 y=x32y = x^{\frac{3}{2}} 的草图，其中 x≥0x \ge 0。曲线下方介于 x=1x = 1 和 x=6x = 6 之间的区域（…
  17. 17求 ∫x2x−1 dx.\int \frac{x}{\sqrt{2x-1}}\,dx. 利用换元法 t=tan⁡xt = \tan x，求 ∫14cos⁡2x+9sin⁡2x dx.\int \frac{1}{4\cos^{2}x + 9\sin^{2}x}\,dx. 上图显示了曲线 y=x2+3xy = x^{2} + 3x…
  18. 18在一个化学反应中，化合物 X 由两种化合物 Y 和 Z 反应生成。 在反应开始后 t 秒时，存在的 X、Y 和 Z 的质量（以克为单位）分别为 xx、15−x15 - x 和 25−x25 - x。在任何时刻，X 的生成速率与此时存在的 Y 和…
  19. 19已知 z1=r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)z_1 = r_1(\cos\theta_1 + \mathrm{i}\sin\theta_1) 且 z2=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)z_2 = r_2(\cos\theta_2 + \mathrm{i}\sin\theta_2)，利用三角函数方法证明 z1z2=r1r2[cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2)]\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + \mathrm{i}\sin(\theta_1 - \theta_2)]…
  20. 20一个数据处理中心每天处理数据（以适当的单位）。设 unu_n（其中 nn 是整数，n≥1n \ge 1）表示从 9 月 1 日开始每天处理的数据量。已知 un+1=(1+p)un ,u_{n+1} = (1 + p)u_n \text{ ,} 其中 pp 是…
  21. 21数列 u0, u1, u2, …u_0,\ u_1,\ u_2,\ \dots 满足 u0=0u_0 = 0 且 un=un−1−2−n(n2−4n+2),对于所有 n∈Z+.u_n = u_{n-1} - 2^{-n}\left(n^2 - 4n + 2\right),\quad\text{对于所有 } n \in \mathbb{Z}^+.…
  22. 22一个均匀的正方体骰子，其各个面上分别标有四个数字 1、2、3 和 4 之一。投掷该骰子一次，朝上的面上的数字为得分 TT。已知 TT 的众数是 2，且 P(T=1)=P(T=4)=16\text{P}(T = 1) = \text{P}(T = 4) = \frac{1}{6}…
  23. 23一个等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 aa 和 dd 均非零。该等差数列的第一、第三和第七项是一个公比为 rr 的等比数列中三个连续的正数项。 证明 r=2r=2。 等比数列的首项是等差数列首项的十分之一。求最小的 nn…
  24. 24证明 32r−1−42r+1+12r+3=8r+20(2r−1)(2r+1)(2r+3)\frac{3}{2r-1} - \frac{4}{2r+1} + \frac{1}{2r+3} = \frac{8r+20}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)}。 由此证明 ∑r=1n2r+5(2r−1)(2r+1)(2r+3)=23−n+2(2n+1)(2n+3)\sum_{r=1}^{n} \frac{2r+5}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)} = \frac{2}{3} - \frac{n+2}{(2n+1)(2n+3)}…
  25. 25Given that ∑r=1n1r(r+1)=nn+1\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{r(r+1)} = \frac{n}{n+1}. Show that ∑r=2n1r(r−1)=1−1n\sum_{r=2}^{n} \frac{1}{r(r-1)} = 1 - \frac{1}{n}…
  26. 26负实数数列 x1,x2,x3,…x_1, x_2, x_3, \dots 满足关系式 xn+1=−1−2xn, 对于 n≥1. x_{n+1} = -\sqrt{1-2x_n}, \text{ 对于 } n \ge 1. 已知该数列收敛于 ll，求 ll 的精确值。 通过将 2r(r+2)\dfrac{2}{r(r+2)}…
  27. 27已知数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=13u_1 = \frac{1}{3} 且 ur+1=ur−1(2r−1)(2r+3),对于所有 r≥1.u_{r+1} = u_r - \frac{1}{(2r-1)(2r+3)}, \quad \text{对于所有 } r \ge 1.…
  28. 28下图展示了由正方形组成的一系列图案。阶段 0 由一个边长为 1 的正方形表示。在随后的每个阶段中，将前一阶段中最小正方形边长一半的正方形，添加到前一阶段中正方形的未占用顶点上。 设 A0A_0 为阶段 0 的正方形面积， AnA_n 为阶段…
  29. 29已知 ∑r=1n2r(r+1)(r+2)=12−1(n+1)(n+2).\sum_{r=1}^n \dfrac{2}{r(r+1)(r+2)} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}. 写出该级数的无穷项和。 求级数 217×18×19+218×19×20+219×20×21+⋯ .\dfrac{2}{17\times18\times19} + \dfrac{2}{18\times19\times20} + \dfrac{2}{19\times20\times21} + \cdots.…
  30. 30由负实数组成的数列 x1,x2,x3,…x_1,x_2,x_3,\dots 满足关系式 xn+1=−1−2xn, 对于 n≥1.x_{n+1} = -\sqrt{1-2x_n},\text{ 对于 } n\ge 1. 已知该数列收敛于 ll，求 ll 的确切值。 通过将 2r(r+2)\dfrac{2}{r(r+2)}…
  31. 31通过将 1(2r+1)(2r+3)\frac{1}{(2r+1)(2r+3)} 写为部分分式，求出用 nn 表示 ∑r=1n1(2r+1)(2r+3)\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} 的表达式。 解释为什么 ∑r=1n[(−13)r+1(2r+1)(2r+3)]\sum_{r=1}^{n} \left[ \left(-\frac{1}{3}\right)^r + \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} \right]…
  32. 32已知数列 uru_r 的前 nn 项和为 ∑r=1nur=1−n(n+1)!\displaystyle\sum_{r=1}^n u_r = 1 - \dfrac{n}{(n+1)!}。 求用 nn 表示的 unu_n（其中 n≥2n \ge 2），并将你的答案表示为单…
  33. 33实数序列 x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots 满足递推关系 xn+1=5xn+22xn+3对于所有 n≥1.x_{n+1} = \dfrac{5x_{n} + 2}{2x_{n} + 3}\quad\text{对于所有 } n \ge 1. 已知该序列收敛于…
  34. 34已知 ∑r=1n2r(r+1)(r+2)=12−1(n+1)(n+2)\displaystyle \sum_{r=1}^n \frac{2}{r(r+1)(r+2)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}。 写出该级数的无穷项和。 求级数 217×18×19+218×19×20+219×20×21+⋯\displaystyle \frac{2}{17\times18\times19} + \frac{2}{18\times19\times20} + \frac{2}{19\times20\times21} + \cdots…
  35. 35一种名为“Painomore”的药物在血液中的半衰期为 4 小时，其中药物的半衰期定义为药物在血液中减少 50% 所需的时间。该药物的配方规定为每 12 小时给药一次，剂量为 DD 毫克。 求在进行第二次给药前瞬间，血液中残留的“Pain…
  36. 36复数数列 {wn}\{w_n\} 的定义如下： wn=[1+(n−1)i][1+(n+1)i](1+ni)2，其中 n∈Z+.w_n = \dfrac{[1+(n-1)i][1+(n+1)i]}{(1+ni)^2}\text{，其中 }n\in\mathbb{Z}^+. 证明 arg⁡(wn)=p[arg⁡(1+(n−1)i)]+q[arg⁡(1+ni)]+r[arg⁡(1+(n+1)i)]\arg(w_n)=p[\arg(1+(n-1)i)]+q[\arg(1+ni)]+r[\arg(1+(n+1)i)]…
  37. 37已知 un=2n−1n(n−1)u_n = \frac{2n-1}{n(n-1)}，其中 n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+。 证明 un−un+1=2(n+1)(n−1)u_n - u_{n+1} = \frac{2}{(n+1)(n-1)}。 已知 un=2n−1n(n−1)u_n = \frac{2n-1}{n(n-1)}…
  38. 38已知 sumr=1nfrac1r(r+1)=1−frac1n+1\\sum_{r=1}^{n} \\frac{1}{r(r + 1)} = 1 - \\frac{1}{n + 1}。 求 sumr=5n+1frac1r(r+1)\\sum_{r=5}^{n+1} \\frac{1}{r(r + 1)}。 给出 (a) 部分中的级…