设等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}.$若$S_{2}=3$，$S_{4}=15$，则$S_{6}=(\quad)$

A. $31\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

B. $32\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

C. $63\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

D. $64$

1. 利用等比数列前 $n$ 项和公式建立方程，求出公比的平方 $q^2$

设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1}$，公比为 $q$.
若 $q=1$，则 $S_2=2a_1=3$，$S_4=4a_1=6 \neq 15$，与题意冲突，故 $q \neq 1$.
根据等比数列求和公式，有：
$S_2 = \frac{a_1(1-q^2)}{1-q} = 3$
$S_4 = \frac{a_1(1-q^4)}{1-q} = \frac{a_1(1-q^2)(1+q^2)}{1-q} = S_2(1+q^2) = 15$
将 $S_2 = 3$ 代入上式，得：
$3(1+q^2) = 15 \implies q^2 = 4$

2. 用首项和公比表示 $S_6$，代入已求出的关系求得结果

将 $S_6$ 展开变形为：
$S_6 = \frac{a_1(1-q^6)}{1-q} = \frac{a_1(1-q^2)(1+q^2+q^4)}{1-q} = S_2(1+q^2+q^4)$
将 $S_2 = 3$ 和 $q^2 = 4$（由此 $q^4 = 16$）代入，得：
$S_6 = 3 \times (1 + 4 + 16) = 3 \times 21 = 63$
因此，正确选项为 C.