有一列按一定顺序和规律排列的数： 第$1$个数是$\dfrac{1}{1×2}$；第$2$个数是$\dfrac{1}{2×3}$；第$3$个数是$\dfrac{1}{3×4} …$对任何正整数$n$，第$n$个数与第$(n+1)$个数的和等于$\dfrac{2}{n(n+2)}$． (1)经过探究，我们发现：$\dfrac{1}{1×2}= \dfrac{1}{1}- \dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2×3}= \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{3×4}= \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}$，设这列数的第$5$个数为$a$，那么$a > \dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{6}$，$a= \dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{6}$，$a < \dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{6}$，哪个正确？请你直接写出正确的结论； (2)请你观察第$1$个数、第$2$个数、第$3$个数，猜想这列数的第$n$个数$($即用正整数$n$表示第$n$个数$)$，并且证明你的猜想满足“第$n$个数与第$(n+1)$个数的和等于$\dfrac{2}{n(n+2)}$”； (3)设$M$表示$\dfrac{1}{{1}^{2}}$，$\dfrac{1}{{2}^{2}}$，$\dfrac{1}{{3}^{2}}$，$…$，$\dfrac{1}{{2016}^{2}}$。这$2016$个数的和，即$M= \dfrac{1}{{1}^{2}}+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+…+ \dfrac{1}{{2016}^{2}}$，求证：$\dfrac{2016}{2017} < M < \dfrac{4031}{2016}$．

1. 推断第5个数的表达式

根据已知数列的排列规律，第1个数是 $\dfrac{1}{1 \times 2}$，第2个数是 $\dfrac{1}{2 \times 3}$，第3个数是 $\dfrac{1}{3 \times 4}$，可以得出第 $n$ 个数是 $\dfrac{1}{n(n+1)}$。
因此第5个数 $a = \dfrac{1}{5 \times 6}$。

2. 得出 $a$ 与给定代数式的关系

根据裂项规律，$\dfrac{1}{5 \times 6} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}$，因此 $a = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}$ 正确。

1. 写出对第 $n$ 个数的猜想

观察第1个数 $\dfrac{1}{1 \times 2}$，第2个数 $\dfrac{1}{2 \times 3}$，第3个数 $\dfrac{1}{3 \times 4}$，
猜想这列数的第 $n$ 个数（用正整数 $n$ 表示）为：
$u_n = \dfrac{1}{n(n+1)}$

2. 列出第 $n$ 个数与第 $n+1$ 个数的和并通分化简

若第 $n$ 个数为 $u_n = \dfrac{1}{n(n+1)}$，则第 $n+1$ 个数为 $u_{n+1} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$。
两数之和为：
$u_n + u_{n+1} = \dfrac{1}{n(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$
提公因式通分得：
$u_n + u_{n+1} = \dfrac{1}{n+1} \left( \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+2} \right) = \dfrac{1}{n+1} \cdot \dfrac{(n+2)+n}{n(n+2)} = \dfrac{1}{n+1} \cdot \dfrac{2(n+1)}{n(n+2)} = \dfrac{2}{n(n+2)}$
猜想得证。

1. 证明左侧不等式 $\dfrac{2016}{2017} < M$

对于任意正整数 $k$，有 $k^2 < k(k+1)$，因此：
$\dfrac{1}{k^2} > \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$
将各项放缩后相加：
$\begin{aligned} M &= \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dots + \dfrac{1}{2016^2} \\ &> \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{2016} - \dfrac{1}{2017}\right) \\ &= 1 - \dfrac{1}{2017} = \dfrac{2016}{2017} \end{aligned}$
即 $\dfrac{2016}{2017} < M$ 成立。

2. 证明右侧不等式 $M < \dfrac{4031}{2016}$

对于 $k \ge 2$ 的正整数，有 $k^2 > k(k-1)$，因此：
$\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{(k-1)k} = \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}$
保留第一项 $1$，其余项进行放缩：