已知${S}_{n}$是公差不为$0$的等差数列$\left\{{a}_{n}\right\}$的前$n$项和，${S}_{5}=35$，${a}_{1},{a}_{4},{a}_{13}$成等比数列． (1)求数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的通项公式； (2)求数列$\left\{ \dfrac{1}{{S}_{n}}\right\}$的前$n$项和${T}_{n}$．

1. 由等差数列求和公式及性质求出 $a_3$

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$ ($d \neq 0$)。
由已知 $S_5 = 35$，利用等差数列求和公式与对称性有：
$S_5 = \frac{5(a_1 + a_5)}{2} = 5a_3 = 35$
解得：
$a_3 = 7$
所以：
$a_1 = 7 - 2d$

2. 用公差 $d$ 统一表示 $a_1, a_4, a_{13}$

根据等差数列通项公式，将各对应项用 $d$ 表示：
$a_1 = 7 - 2d$
$a_4 = a_3 + d = 7 + d$
$a_{13} = a_3 + 10d = 7 + 10d$

3. 根据等比中项性质列方程，求得公差 $d$ 及首项 $a_1$

因为 $a_1, a_4, a_{13}$ 成等比数列，所以 $a_4^2 = a_1 a_{13}$。
代入含 $d$ 的式子得：
$(7+d)^2 = (7-2d)(7+10d)$
展开并整理得：
$49 + 14d + d^2 = 49 + 56d - 20d^2$
$21d^2 - 42d = 0$
因为 $d \neq 0$，解得：
$d = 2$
从而求得首项：
$a_1 = 7 - 2 \times 2 = 3$

4. 求得等差数列的通项公式 $a_n$

将 $a_1 = 3, d = 2$ 代入等差数列通项公式：
$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$

1. 求等差数列前 $n$ 项和 $S_n$ 的表达式

由第 (1) 问可知，$a_1 = 3$，$a_n = 2n + 1$。
由等差数列的前 $n$ 项和公式得：
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(3 + 2n + 1)}{2} = n(n+2)$

2. 对通项分式进行裂项变形

因此，数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 的通项为：
$\frac{1}{S_n} = \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$

3. 利用裂项相消法计算前 $n$ 项和 $T_n$

将各分项展开求和：
$T_n = \frac{1}{2}\left[\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)\right]$
消去中间多余项后，剩下首尾各两项：