已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=a_{2}=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(n\in N^{*}).$记$S_{n}$为数列$\{\dfrac{1}{a_{n}}\}$的前$n$项和，则$(\quad)$

A. $\dfrac{5}{2}< S_{2021}< 3$

B. $3< S_{2021}< \dfrac {7}{2}$

C. $\dfrac{7}{2}< S_{2021}< 4$

D. $4< S_{2021}< \dfrac {9}{2}$

1. 求出数列的前几项并确定 $S_{2021}$ 的下界

由递推关系 $a_1=a_2=1$ 且 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ 可得，该斐波那契数列的前几项为：
$a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_3 = 2$, $a_4 = 3$, $a_5 = 5$, $a_6 = 8$, $a_7 = 13$ 等。
因为数列项均为正数，所以 $S_{2021} > S_5$。
计算前5项的和：
$S_5 = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{91}{30} = 3.033... > 3$
因此，有 $S_{2021} > 3$。

2. 建立数列项倒数之间的不等关系

因为自第二项起数列单调递增，即对任意 $n \ge 2$，有 $a_{n+1} > a_n$。
从而对任意 $n \ge 2$，有：
$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n > 2a_n$
取倒数可得：
$\frac{1}{a_{n+2}} < \frac{1}{2a_n} \quad (n \ge 2)$
此不等式表明，奇数项和偶数项的倒数分别是以小于 $\frac{1}{2}$ 的公比进行放缩。

3. 将 $S_{2021}$ 拆分为奇数项和与偶数项和，并应用无穷等比级数求和公式分别进行放缩

将 $S_{2021}$ 的项分为奇数项和与偶数项和：
$S_{2021} = S_{\text{odd}} + S_{\text{even}}$

1. 对于奇数项和：
   $S_{\text{odd}} = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_3} + \left(\frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_7} + \dots + \frac{1}{a_{2021}}\right)$
   利用 $\frac{1}{a_{2k+1}} < \frac{1}{2} \frac{1}{a_{2k-1}}$ 可得：
   $\frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_7} + \dots + \frac{1}{a_{2021}} < \frac{1}{a_5} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots\right) < \frac{1}{5} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{5} = 0.4$
   所以：
   $S_{\text{odd}} < 1 + \frac{1}{2} + 0.4 = 1.9$

2. 对于偶数项和：
   $S_{\text{even}} = \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_4} + \left(\frac{1}{a_6} + \frac{1}{a_8} + \dots + \frac{1}{a_{2020}}\right)$
   利用 $\frac{1}{a_{2k}} < \frac{1}{2} \frac{1}{a_{2k-2}}$ 可得：
   $\frac{1}{a_6} + \frac{1}{a_8} + \dots + \frac{1}{a_{2020}} < \frac{1}{a_6} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots\right) < \frac{1}{8} \times 2 = 0.25$
   所以：
   $S_{\text{even}} < 1 + \frac{1}{3} + 0.25 = \frac{19}{12} \approx 1.5833$

4. 综合上下界得出结论并选择正确选项

将两部分的上界相加：
$S_{2021} < S_{\text{odd}} + S_{\text{even}} < 1.9 + 1.5833 = 3.4833 < 3.5 = \frac{7}{2}$
结合第一步得到的下界，可得：
$3 < S_{2021} < \frac{7}{2}$
因此，正确选项为 B。