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无穷等比级数求和

收敛等比级数的无穷和公式。

这个知识点的练习题

1一个袋子中装有一个绿色圆盘、 $r$ 个红色圆盘和 $2r$ 个蓝色圆盘，其中 $r>1$ 。提姆（Tim）和西姆（Sim）轮流从袋子中随机抽取一个圆盘来进行游戏。每次抽取后，将抽出的圆盘放回袋中。第一个抽到绿色圆盘的人获胜。如果西姆先开始游…
2在上个月的第一天，一家制造厂内一台机器的温度被发现为 $90^\circ\text{C}$ ，主管认为该温度过高。每天，机器产生的废热作为副产品会导致机器温度上升 $2^\circ\text{C}$ 。为了降低温度，主管决定调整恒温器，并在每天…
3等差数列的首项为 $a$ ，公差为 $d$ ，其中 $a$ 和 $d$ 均不为零。该等差数列的第一、第三和第七项是一个公比为 $r$ 的等比数列的三个连续正数项。证明 $r=2$ 。等比数列的首项是该等差数列首项的十分之一。求最小的 $n$ …
4一个有限数列 $\{a_n\}$ 有 50 项，且对于 $n = 1,2,3,\ldots,49$ ，满足 $a_{n+1} = a_n + 0.15$ 。另一个无限数列 $\{b_m\}$ 满足 $b_1 = a_{50}$ ，且对于 $m \ge 2$ …
5在一项电脑模拟中，每位玩家使用一个完全相同的水桶，重复向各自指定的、初始为空的水箱中倒水。两位玩家 Chris 和 Elliot 参与了这项模拟，并按以下方式向各自的水箱中倒水： * Chris 第一次用水桶向水箱中倒入 5 升水。随后，他…
6已知 $1-2r = A(r+1) + Br$ ，求常数 $A$ 和 $B$ 。利用裂项相消法求 $\displaystyle \sum_{r=1}^n \frac{1-2r}{3^r}$ 。由此求出 $\displaystyle \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2-2r}{3^r}$ …
7温迪（Wendie）参加训练以准备一场跑步比赛。在第一场训练中，她在恰好 5 分钟内跑了 1000 米的距离。对于之后的每一场训练，跑步的距离都比前一场多 $x\%$ ，且所花的时间比前一场多 1.5 分钟。已知 $x = 8$ 。求她在第…
8一个有限数列 $\{a_n\}$ 含有 50 项，且对于 $n = 1,2,3,\ldots,49$ ，满足 $a_{n+1} = a_n + 0.15$ 。另一个无限数列 $\{b_m\}$ 满足 $b_1 = a_{50}$ 且对于 $m \ge 2$ …
9疾病的基本再生数（reproduction number） $R_0$ 是一个数学术语，用于表示一种传染病的传播能力。它给出了每个患者平均传染的人数。如果该社区中没有人接种过该疾病的疫苗，或者没有人对该疾病具有免疫力，这种复制（传播）将会持续…
10在一个化学反应中，化合物 X 由两种化合物 Y 和 Z 反应生成。在反应开始后 t 秒时，存在的 X、Y 和 Z 的质量（以克为单位）分别为 $x$ 、 $15 - x$ 和 $25 - x$ 。在任何时刻，X 的生成速率与此时存在的 Y 和…
11在一次实验中，掷两个均匀的 $n$ 面骰子，每个骰子的面上分别标有数字 1，2，...， $n$ （其中 $n \ge 4$ ）。每个骰子出现的数字定义为与桌面接触的那个面上的数字。如果两个骰子出现的数字不同，则得分记为两个数字中较大的那…
12已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是一个等比数列的前三项。同时也已知 $a$ ， $c$ ， $b$ 是一个等差数列的前三项。证明： $b^2 = ac$ 且 $c = \dfrac{a+b}{2}$ 。由此证明： $2\left(\dfrac{b}{a}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{a}\right) - 1 = 0.$ …
13一个等差级数的第一项（首项）为正数 $a$ ，公差为 $d$ 。该等差级数的第一项、第五项和第二项分别是一个等比级数的前三个连续项。已知该等差级数的项是递减的。已知该等比级数的无穷项和为 $\dfrac{32}{7}$ 。证明 $d = -\dfrac{7}{16}a$ …
14一个等差级数的首项 $a$ 为正数，公差为 $d$ 。该等差级数的第一项、第五项和第二项分别是某个等比级数的前三个连续项。已知该等差级数是递减的。证明 $d = -\dfrac{7}{16}a$ 。给出该等比级数收敛的原因。已知该等比级数…
15等差数列的首项为 $a$ ，公差为 $d$ ，其中 $a > 0$ 且 $d \ne 0$ 。该等差数列的第一、第六和第九项是某等比数列的连续三项。证明 $25d = -2a$ 。等差数列的前 $n$ 项和记为 $S$ 。求满足 $S$ 大于…
16求处于区间 $-\dfrac{\pi}{2}\!<\!\theta\!<\!\dfrac{\pi}{2}$ 内的 $\theta$ 的取值集合，使得等比级数 1 + $\tan\theta + \tan^{2}\theta + \tan^{3}\theta + \dots$ …
17一个均匀的正方体骰子，其各个面上分别标有四个数字 1、2、3 和 4 之一。投掷该骰子一次，朝上的面上的数字为得分 $T$ 。已知 $T$ 的众数是 2，且 $\text{P}(T = 1) = \text{P}(T = 4) = \frac{1}{6}$ …
18一个等差数列的首项为 $a$ ，公差为 $d$ ，其中 $a$ 和 $d$ 均非零。该等差数列的第一、第三和第七项是一个公比为 $r$ 的等比数列中三个连续的正数项。证明 $r=2$ 。等比数列的首项是等差数列首项的十分之一。求最小的 $n$ …
19一个级数的前 $n$ 项由 $\log_a 3 + \log_a 27 + \log_a 243 + \ldots + \log_a 3^{2^{n-1}}$ 给出，其中 $a$ 是一个正数常数。证明该级数是等差级数。已知该级数前 30…
20一个等差数列的第九项、第五项和第二项是一个首项为 $a$ 、公比为 $r$ 的等比数列的连续三项，其中 $r \ne 1$ 且 $a > 0$ 。求 $r$ 的值并推导证明该等比级数是收敛的。利用在 (i) 中求得的 $r$ 值，求 $n$ …
21Given that $\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{r(r+1)} = \frac{n}{n+1}$ . Show that $\sum_{r=2}^{n} \frac{1}{r(r-1)} = 1 - \frac{1}{n}$ …
22一个等比级数的公比为 $r$ ，一个等差级数的首项为 $a$ ，公差为 $d$ ，其中 $a$ 和 $d$ 均非零。该等比级数的前三项分别等于该等差级数的第一项、第四项和第六项。证明 $3r^{2} - 5r + 2 = 0$ 。由此推导该等比…
23已知一个级数的前 $n$ 项由 $\log_a 3 + \log_a 27 + \log_a 243 + \dots + \log_a 3^{2n-1}$ 给出，其中 $a$ 是一个正常数。证明该级数是一个等差级数。已知该级数的前 30…
24已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=a_{2}=1$ ， $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(n\in N^{*}).$ 记 $S_{n}$ 为数列 $\{\dfrac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项…
25通过将 $\frac{1}{(2r+1)(2r+3)}$ 写为部分分式，求出用 $n$ 表示 $\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(2r+1)(2r+3)}$ 的表达式。解释为什么 $\sum_{r=1}^{n} \left[ \left(-\frac{1}{3}\right)^r + \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} \right]$ …
26爱明和舒婷在玩一个电脑游戏，她们各自向目标射击。对于每次射击，两人击中目标的概率均为 0.25，且独立于两人的所有其他射击，并且她们对目标的尝试次数相同。求：在尝试的 20 次射击中，爱明最可能击中目标的次数，在尝试的 20 次射击中，…
27等差数列的第九项、第五项和第二项是一个首项为 $a$ 、公比为 $r$ 的等比数列的连续项，其中 $r \ne 1$ 且 $a > 0$ 。求 $r$ 的值并推导说明该等比级数是收敛的。利用在 (i) 中求得的 $r$ 的值，求最小的 $n$ …
28一种名为“Painomore”的药物在血液中的半衰期为 4 小时，其中药物的半衰期定义为药物在血液中减少 50% 所需的时间。该药物的配方规定为每 12 小时给药一次，剂量为 $D$ 毫克。求在进行第二次给药前瞬间，血液中残留的“Pain…
29一个袋子里装有三个红球和两个蓝球。除了颜色外，所有的球都是不可区分的。红先生和蓝先生轮流从袋中随机抽取一个球，每次抽取后放回。第一位抽中与自己名字颜色相同的球的玩家获胜，且游戏立即结束。如果红先生先抽，求以下事件的概率：红先生在他的第…
30学校的步数挑战赛是体育部发起的一项活动，旨在鼓励学生过上更积极健康的生活方式。下表显示了相应的每日步数以及可获得的健康积分。学生 A 第一天走了 4500 步。此后每天，他的步数比前一天增加 350 步。 (i) 学生 A 将在第几天首次…
31一个等比级数的首项为 $2\sqrt{2}\sin\theta$ ，第二项为 $\sin 2\theta$ 。证明当 $\tfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$ 时，该级数是收敛的。已知 $\theta = \tfrac{3\pi}{4}$ …