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等比级数收敛条件

无穷等比级数的收敛条件。

这个知识点的练习题

  1. 1已知一个数列的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该数列是一个等差数列。 第 (a) 部分中数列的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比数列的前三个连续项，该等比数列的第 nn 项记为 vnv_n。求 mm…
  2. 2已知一个级数的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该级数的各项构成等差数列。 (a) 部分中该级数的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比级数的前三个连续项，且其第 nn 项由 vnv_n 给出。求 mm 的值…
  3. 3用数学归纳法证明，对于所有正整数 nn 以及 x∈Rx\in\mathbb{R}，x≠0, x≠1x\ne 0,\ x\ne 1， 1x−1−1x−1x2−⋯−1xn=1xn(x−1) .\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\dots-\frac{1}{x^n}=\frac{1}{x^n(x-1)}\,.…
  4. 4一个数据处理中心每天处理数据（以适当的单位）。设 unu_n（其中 nn 是整数，n≥1n \ge 1）表示从 9 月 1 日开始每天处理的数据量。已知 un+1=(1+p)un ,u_{n+1} = (1 + p)u_n \text{ ,} 其中 pp 是…
  5. 5已知 aa，bb，cc 是一个等比数列的前三项。同时也已知 aa，cc，bb 是一个等差数列的前三项。 证明： b2=acb^2 = ac 且 c=a+b2c = \dfrac{a+b}{2}。 由此证明： 2(ba)2−(ba)−1=0.2\left(\dfrac{b}{a}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{a}\right) - 1 = 0.…
  6. 6一个等差级数的第一项（首项）为正数 aa，公差为 dd。该等差级数的第一项、第五项和第二项分别是一个等比级数的前三个连续项。已知该等差级数的项是递减的。 已知该等比级数的无穷项和为 327\dfrac{32}{7}。 证明 d=−716ad = -\dfrac{7}{16}a…
  7. 7一个等差级数的首项 aa 为正数，公差为 dd。该等差级数的第一项、第五项和第二项分别是某个等比级数的前三个连续项。已知该等差级数是递减的。 证明 d=−716ad = -\dfrac{7}{16}a。 给出该等比级数收敛的原因。 已知该等比级数…
  8. 8等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 a>0a > 0 且 d≠0d \ne 0。 该等差数列的第一、第六和第九项是某等比数列的连续三项。 证明 25d=−2a25d = -2a。 等差数列的前 nn 项和记为 SS。求满足 SS 大于…
  9. 9求处于区间 −π2 ⁣< ⁣θ ⁣< ⁣π2-\dfrac{\pi}{2}\!<\!\theta\!<\!\dfrac{\pi}{2} 内的 θ\theta 的取值集合，使得等比级数 1 + tan⁡θ+tan⁡2θ+tan⁡3θ+…\tan\theta + \tan^{2}\theta + \tan^{3}\theta + \dots…
  10. 10一个等差数列的第九项、第五项和第二项是一个首项为 aa、公比为 rr 的等比数列的连续三项，其中 r≠1r \ne 1 且 a>0a > 0。求 rr 的值并推导证明该等比级数是收敛的。 利用在 (i) 中求得的 rr 值，求 nn…
  11. 11一个等比级数的公比为 rr，一个等差级数的首项为 aa，公差为 dd，其中 aa 和 dd 均非零。该等比级数的前三项分别等于该等差级数的第一项、第四项和第六项。 证明 3r2−5r+2=03r^{2} - 5r + 2 = 0。 由此推导该等比…
  12. 12已知 xx，yy，zz 是一个等比数列的前三项。当这三项按 zz，xx，yy 的顺序排列时，它们构成一个等差数列的连续三项。 证明 (zy)2+(zy)−2=0\left(\dfrac{z}{y}\right)^2 + \left(\dfrac{z}{y}\right) - 2 = 0…
  13. 13下图展示了由正方形组成的一系列图案。阶段 0 由一个边长为 1 的正方形表示。在随后的每个阶段中，将前一阶段中最小正方形边长一半的正方形，添加到前一阶段中正方形的未占用顶点上。 设 A0A_0 为阶段 0 的正方形面积， AnA_n 为阶段…
  14. 14用数学归纳法证明，对于所有正整数 nn 且 x∈Rx \in \mathbb{R}，x≠0,x≠1x \ne 0, x \ne 1， 1x−1−1x−1x2−⋯−1xn=1xn(x−1).\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dots-\dfrac{1}{x^n}=\dfrac{1}{x^n(x-1)}.…
  15. 15已知数列{an}\{a_{n}\}满足a1=a2=1a_{1}=a_{2}=1，an+2=an+1+an(n∈N∗).a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(n\in N^{*}).记SnS_{n}为数列{1an}\{\dfrac{1}{a_{n}}\}的前nn项…
  16. 16通过将 1(2r+1)(2r+3)\frac{1}{(2r+1)(2r+3)} 写为部分分式，求出用 nn 表示 ∑r=1n1(2r+1)(2r+3)\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} 的表达式。 解释为什么 ∑r=1n[(−13)r+1(2r+1)(2r+3)]\sum_{r=1}^{n} \left[ \left(-\frac{1}{3}\right)^r + \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} \right]…
  17. 17某公司在社交媒体平台上发布了一个视频来推广一款新产品。视频于 4 月 1 日初上传，并在每天结束时记录日浏览量。设 unu_n（其中 n≥1n \ge 1）表示每天记录的日浏览量。已知 un+1=(1+k)un,u_{n+1} = (1 + k)u_n, 其中…
  18. 18已知级数： ∑r=1n2(4−3x)r\sum_{r=1}^{n} 2(4-3x)^{r} 其中 xx 为常数。 解释为什么这是一个等比级数。求使该级数的无穷项和存在的 xx 的取值范围。 设 x=1x = 1，且已知 ∑r=1nr2=n6(n+1)(2n+1),\sum_{r=1}^{n} r^{2} = \dfrac{n}{6}(n+1)(2n+1),…
  19. 19等差数列的第九项、第五项和第二项是一个首项为 aa、公比为 rr 的等比数列的连续项，其中 r≠1r \ne 1 且 a>0a > 0。求 rr 的值并推导说明该等比级数是收敛的。 利用在 (i) 中求得的 rr 的值，求最小的 nn…
  20. 20已知一个级数为 ∑r=1n2(4−3x)r\sum_{r=1}^{n} 2(4-3x)^r，其中 xx 为常数。 解释为什么这是一个等比级数。确定使该级数的无穷和存在的 xx 取值范围。 令 x=1x = 1，且已知 ∑r=1nr2=n6(n+1)(2n+1)\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n}{6}(n+1)(2n+1)…
  21. 21已知级数 ∑r=1n2(4−3x)r\displaystyle\sum_{r=1}^{n}2(4-3x)^{r}，其中 xx 为常数。 解释为什么这是一个等比级数。确定使得该级数的无穷级数和存在的 xx 的取值范围。 令 x=1x = 1，且已知 ∑r=1nr2=n6(n+1)(2n+1)\displaystyle\sum_{r=1}^{n}r^{2} = \dfrac{n}{6}(n+1)(2n+1)…
  22. 22一个等比级数的首项为 22sin⁡θ2\sqrt{2}\sin\theta，第二项为 sin⁡2θ\sin 2\theta。 证明当 π2<θ<π\tfrac{\pi}{2} < \theta < \pi 时，该级数是收敛的。 已知 θ=3π4\theta = \tfrac{3\pi}{4}…