已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=\dfrac{1}{k}$，$k\geqslant 2$，$k\in N^{*}$，$[a_{n}]$表示不超过$a_{n}$的最大整数$($如$[1.6]=1)$，记$b_{n}=[a_{n}]$，数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}.$ ①若数列$\{a_{n}\}$是公差为$1$的等差数列，则$T_{4}=(1)$ ； ②若数列$\{a_{n}\}$是公比为$k+1$的等比数列，则$T_{n}=(2)$ .

1. 确定数列 $\{a_n\}$ 的通项公式及 $b_n$ 的表达式

已知 $a_1 = \dfrac{1}{k}$（$k \ge 2, k \in \mathbb{N}^*$），且 $\{a_n\}$ 是公差为 $1$ 的等差数列，
则 $a_n = \dfrac{1}{k} + (n-1)$。
因为 $k \ge 2$，所以 $0 < \dfrac{1}{k} \le \dfrac{1}{2}$，故 $n-1 < a_n < n$。
根据取整函数的定义 $b_n = [a_n]$，得 $b_n = n - 1$。

2. 计算 $T_4$ 的值

依次求出数列 $\{b_n\}$ 的前 $4$ 项：
$b_1 = 0, \quad b_2 = 1, \quad b_3 = 2, \quad b_4 = 3$。
因此，$T_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 0 + 1 + 2 + 3 = 6$。

1. 确定等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式，并求 $b_n$ 的通项

已知 $a_1 = \dfrac{1}{k}$，公比为 $k+1$，则 $a_n = \dfrac{1}{k}(k+1)^{n-1}$。
对 $(k+1)^{n-1}$ 用二项式定理展开：
$(k+1)^{n-1} = \sum_{m=0}^{n-1} \binom{n-1}{m} k^m = 1 + M \cdot k$，其中 $M = \dfrac{(k+1)^{n-1}-1}{k}$ 为非负整数。
代入 $a_n$ 可得 $a_n = \dfrac{M \cdot k + 1}{k} = M + \dfrac{1}{k}$。
因为 $k \ge 2$，所以 $0 < \dfrac{1}{k} < 1$，故 $b_n = [a_n] = M = \dfrac{(k+1)^{n-1}-1}{k}$。

2. 对 $b_n$ 求和得出 $T_n$

数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ 为：
$T_n = \sum_{i=1}^{n} b_i = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{(k+1)^{i-1}-1}{k} = \dfrac{1}{k} \left[ \sum_{i=1}^{n} (k+1)^{i-1} - \sum_{i=1}^{n} 1 \right]$
由等比数列求和公式，得：
$\sum_{i=1}^{n} (k+1)^{i-1} = \dfrac{(k+1)^n - 1}{(k+1) - 1} = \dfrac{(k+1)^n - 1}{k}$
整理得：
$T_n = \dfrac{1}{k} \left[ \dfrac{(k+1)^n - 1}{k} - n \right] = \dfrac{(k+1)^n - 1 - nk}{k^2}$