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二项式定理

正整数指数 $n$ 的二项式定理的应用

这个知识点的练习题

1解释为什么 $\\left(kx^3 + x\\right)^{12}$ 展开式中的所有项都不含 $x$ 的奇数次幂。已知在 $\\left(1 - \\frac{x}{2}\\right)^2 \\left(kx^3 + x\\right)^{12}$ …
2已知 $\left(x + \dfrac{k}{x^2}\right)^n$ 是一个二项式展开式，其中 $k$ 和 $n$ 是正常数。用 $k$ 表示出展开式 $\left(x + \dfrac{k}{x^2}\right)^5$ 的前…
3按 $x$ 的升幂排列，求下列各项展开式中的前三项： $(1+4x)^7$ ， $(2-x)^7$ 。由此求 $(2+7x-4x^2)^7$ 展开式中 $x^2$ 的系数。
4在 $(1 + bx)(1 + ax)^6$ 的展开式中，前两个非零项为 $1$ 和 $-\frac{21}{4}x^2$ 。已知 $a < b$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值。
5二项式 $(3 \sqrt[3]{x}+ \dfrac {1}{x})^{n}$ 的展开式中的各项系数和为 $P$ ，所有二项式系数和为 $Q$ ，若 $P+Q=272$ ，求展开式中的常数项．
6解释为什么 $\left(ax + \dfrac{2}{x}\right)^6$ 的二项式展开式中仅包含 $x$ 的偶数次幂。写出并简化 $\left(1 - \dfrac{x}{a}\right)^3$ 按 $x$ 升幂排列的展开式的前…
7 $(x+y)^{2}(x-2y)^{4}$ 的展开式中 $x^{2}y^{4}$ 的系数为 $(\quad)$ A. $88$ B. $104$ C. $-40$ D. $-24$
8写出 $\left(x^{2}+\dfrac{m}{x}\right)^{9}$ 按 x 的降幂展开式中的前三项，其中 $m$ 是一个整数。已知在 $\left(x^{2}+\dfrac{m}{x}\right)^{9}$ 的展开式中， $x^{3}$ …
9写出 $\left(1 - 4x\right)^{6}$ 展开式中的前四项。由此求出 $\left(3 + x^{2}\right)\left(1 - 4x\right)^{6}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数。解释为什么 $\left(2x + \frac{1}{x^{3}}\right)^{18}$ …
10 $(2x-\dfrac{1}{x})^{5}(x+\dfrac{1}{x})$ 的展开式中的常数项为 $(\quad)$ A. $20$ B. $-20$ C. $40$ D. $-40$
11写出并化简 $\left(2 - \dfrac{3}{x}\right)^8$ 按 $x$ 的降幂排列的展开式中的前三项。已知在 $(1 - 2x - kx^2)\left(2 - \dfrac{3}{x}\right)^8$ 的展开式中…
12用 $a$ 和 $n$ 表示 $(2+x)^n$ 展开式中的第三项。写出 $(1-3x)^5$ 展开式中的前三项。在 $(1-3x)^5(2+ax)^6$ 的展开式中， $x$ 的系数为 $-384$ 。求 $a$ 的值。
13在 $(1 + bx)(1 + ax)^6$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式中，前两个非零项分别为 $1$ 和 $-\frac{21}{4}x^2$ 。求常数 $a$ 和 $b$ 的值，其中 $a < b$ 。
14写出并化简 $\left(2 - x\right)^7$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式中的前 3 项。求 $\left(1 - 8x + 24x^2\right)\left(2 - x\right)^7$ 展开式中 $x^2$ 的系数。…
15若 $(4x-7)^{6}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{6}x^{6}$ ，则 $a_{1}+a_{3}+a_{5}=(\quad)$ A. $\dfrac{7^{6}-11^{6}}{2}$ …
16已知 $\left(2x+1\right){\left(x-2\right)}^{6}={a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+…{a}_{7}{x}^{7}$ ． $($ Ⅰ $)$ 求 ${a}_{1}+{a}_{2}+…{a}_{7}$ …
17求展开式 $\left(\frac{a}{x}+3x^2\right)^6$ 按 $x$ 的升幂排列的前 $4$ 项，并化简每一项。已知在 $(2x^3-1)\left(\frac{a}{x}+3x^2\right)^6$ 的展开式中不含…
18关于 $(2x+\dfrac{1}{x})^{12}$ 的展开式，下列结论正确的是 $(\quad)$ A. 所有二项式系数和为 $2^{12}$ B. 所有项的系数和为 $3^{12}$ C. 二项式系数最大的项为第 $6$ 项 D…
19已知 $a$ 是 $A=7^{n}+C_{n}^{1}7^{n-1}+C_{n}^{2}7^{n-2}+⋯+C_{n}^{n-1}7(n$ 为正奇数 $)$ 被 $4$ 整除的余数，则 $∫_{1}^{e}(x+\dfrac{a}{x}){\rm d}x$ …
20设 $a= \int _{ 0 }^{ π }(\sin x+\cos x)dx$ ，且二项式 $(a \sqrt {x}- \dfrac {1}{ \sqrt {x}})^{n}$ 的所有二项式系数之和为 $64$ ，则其展开式中含 $x^{2}$ …
21求 $\left(2 - \dfrac{3}{x^{2}}\right)^{7}$ 按 $x$ 的降幂展开式的前 4 项，并化简每一项。由此，求 $(5x - 4x^{3})\left(2 - \dfrac{3}{x^{2}}\right)^{7}$ …
22已知函数 $f(x)=-\dfrac{1}{8}x+3\cos 2x$ 在 $x=0$ 处的切线与直线 $y=nx$ 垂直，若 $(1+x+x^{2})(1+x)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+⋯+a_{n+2}x^{n+2}$ …
23已知 $(x-m)^{7}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+…+a_{7}x^{7}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是 $-35$ ，则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+…a_{7}=$ ___ ．
24用 $a$ 和 $n$ 表示 $(2+x)^n$ 展开式中的第三项。写出 $(1-3x)^5$ 展开式的前三项。在 $(1-3x)^5 (2+ax)^6$ 的展开式中， $x$ 的系数为 $-384$ 。求 $a$ 的值。
25(1)求证： $1+2+2^{2}+$ … $+2^{5n-1}(n\in N^{*})$ 能被 $31$ 整除； (2)求 $S=C_{27}^{1}+C_{27}^{2}+⋯+C_{27}^{27}$ 除以 $9$ 的余数．
26写出并化简 $\left(2 + \frac{x}{2}\right)^n$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式的前三项，其中 $n$ 为正整数。 $\left(\frac{4}{3} - 3x\right)\left(2 + \frac{x}{2}\right)^n$ …
27写出 $\left(2 - \frac{x}{3}\right)^6$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式中的前 3 项。所有项必须表示为最简形式。由此，求 $\left(2 - \frac{x}{3}\right)^6 \left(\frac{4}{x} - x\right)^2$ …
28按 $x$ 的升幂展开并简化 $\left(\frac{1}{2}-2x\right)^5$ ，直到前 4 项。由此，若在 $\left(1+ax+3x^2\right)\left(\frac{1}{2}-2x\right)^5$ 的展…
29在 $(x-\dfrac{2}{x^{2}})^{5}$ 的展开式中， $x^{-1}$ 的系数是 ___ $.($ 用数字作答 $)$
30已知 $(x+\dfrac{4}{x}-4)^{6}=a_{1}x^{6}+a_{2}x^{5}+⋯+a_{7}+⋯+a_{13}x^{-6}$ ，则 $a_{2}=$ ___， $6a_{1}+5a_{2}+⋯+a_{6}-a_{8}-2a_{9}-⋯-6a_{13}=$ …
31已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=\dfrac{1}{k}$ ， $k\geqslant 2$ ， $k\in N^{*}$ ， $[a_{n}]$ 表示不超过 $a_{n}$ 的最大整数 $($ 如 $[1.6]=1)$ …
32 $(1+2x)^{5}$ 的展开式中，各项二项式系数的和是 $(\quad)$ A. $1$ B. $-1$ C. $2^{5}$ D. $3^{5}$
33已知按 $x$ 的升幂排列， $(2+ax)^6$ 的二项式展开式的前三项分别为 $64 - 960x + bx^2$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。利用前面求得的值，求 $(1+3x^2)^5(2+ax)^6$ 展开式中 $x^3$ 的…