$(1+2x)^{5}$ 的展开式中，各项二项式系数的和是 $(\quad)$
A. $1$
B. $-1$
C. $2^{5}$
D. $3^{5}$

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完整解法

1. 确定二项式系数和的通用计算公式

在二项式展开式 $(a+b)^n$ 中，各项的二项式系数依次为 $C_n^0, C_n^1, C_n^2, \dots, C_n^n$ 。
由组合数性质可知，各项二项式系数的和为：
$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$

2. 代入具体指数求出结果并选择对应选项

在代数式 $(1+2x)^5$ 中，二项式的指数 $n = 5$ 。
因此，该展开式中各项二项式系数的和为：
$2^5$
所以正确选项为 C。

答案

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1解释为什么 $\\left(kx^3 + x\\right)^{12}$ 展开式中的所有项都不含 $x$ 的奇数次幂。已知在 $\\left(1 - \\frac{x}{2}\\right)^2 \\left(kx^3 + x\\right)^{12}$ …
2已知 $\left(x + \dfrac{k}{x^2}\right)^n$ 是一个二项式展开式，其中 $k$ 和 $n$ 是正常数。用 $k$ 表示出展开式 $\left(x + \dfrac{k}{x^2}\right)^5$ 的前…
3按 $x$ 的升幂排列，求下列各项展开式中的前三项： $(1+4x)^7$ ， $(2-x)^7$ 。由此求 $(2+7x-4x^2)^7$ 展开式中 $x^2$ 的系数。
4在 $(1 + bx)(1 + ax)^6$ 的展开式中，前两个非零项为 $1$ 和 $-\frac{21}{4}x^2$ 。已知 $a < b$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值。
5二项式 $(3 \sqrt[3]{x}+ \dfrac {1}{x})^{n}$ 的展开式中的各项系数和为 $P$ ，所有二项式系数和为 $Q$ ，若 $P+Q=272$ ，求展开式中的常数项．