$(x+y)^{2}(x-2y)^{4}$的展开式中$x^{2}y^{4}$的系数为$(\quad)$

A. $88$

B. $104$

C. $-40$

D. $-24$

1. 展开第一个因式 $(x+y)^2$

根据完全平方公式，可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

2. 展开或求出第二个因式 $(x-2y)^4$ 的相关项

根据二项式定理，$(x-2y)^4$ 的展开式通项为：
$T_{r+1} = C_4^r x^{4-r} (-2y)^r = C_4^r (-2)^r x^{4-r} y^r$
为了与第一个因式展开后的 $x^2, 2xy, y^2$ 相乘得到 $x^2y^4$ 的项，我们需要 $(x-2y)^4$ 展开式中含有 $y^4, xy^3, x^2y^2$ 的项：

• 当 $r=4$ 时，该项为 $C_4^4 (-2)^4 y^4 = 16y^4$
• 当 $r=3$ 时，该项为 $C_4^3 (-2)^3 x y^3 = -32xy^3$
• 当 $r=2$ 时，该项为 $C_4^2 (-2)^2 x^2 y^2 = 24x^2y^2$

3. 组合计算 $x^2y^4$ 的系数

将 $(x+y)^2$ 展开式中的各项与 $(x-2y)^4$ 展开式中的对应项相乘，得到含有 $x^2y^4$ 的项为：
$x^2 \cdot (16y^4) + 2xy \cdot (-32xy^3) + y^2 \cdot (24x^2y^2) = (16 - 64 + 24)x^2y^4 = -24x^2y^4$
因此，展开式中 $x^2y^4$ 的系数为 $-24$。
所以本题选择 D。