已知函数$f(x)=-\dfrac{1}{8}x+3\cos 2x$在$x=0$处的切线与直线$y=nx$垂直，若$(1+x+x^{2})(1+x)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+⋯+a_{n+2}x^{n+2}$，则$a_{1}+a_{2}+⋯+a_{n+2}=$___$($用数字作答$).$

1. 求出函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数（切线斜率）

对函数 $f(x) = -\dfrac{1}{8}x + 3\cos 2x$ 求导，得：
$f'(x) = -\dfrac{1}{8} - 6\sin 2x$
将 $x=0$ 代入导函数，得：
$f'(0) = -\dfrac{1}{8} - 6\sin 0 = -\dfrac{1}{8}$
所以函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线斜率为 $-\dfrac{1}{8}$。

2. 利用两直线垂直的斜率关系求出参数 $n$ 的值

因为函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线与直线 $y=nx$ 垂直，
且直线 $y=nx$ 的斜率为 $n$，
根据两条垂直直线的斜率乘积为 $-1$，可得：
$-\dfrac{1}{8} \times n = -1$
解得：
$n = 8$

3. 利用赋值法求出展开式中各项系数之和 $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n+2}$

当 $n=8$ 时，多项式恒等式为：
$(1+x+x^{2})(1+x)^{8} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{10}x^{10}$
令 $x=1$，代入上式可得：
$(1+1+1^{2})(1+1)^{8} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{10}$
即：
$3 \times 2^{8} = 768 = a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{10}$
令 $x=0$，代入上式可得：
$(1+0+0^{2})(1+0)^{8} = a_{0} \implies a_{0} = 1$
因此，所求的系数和为：
$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{10} = (a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{10}) - a_{0} = 768 - 1 = 767$