(1)求证：$1+2+2^{2}+$…$+2^{5n-1}(n\in N^{*})$能被$31$整除； (2)求$S=C_{27}^{1}+C_{27}^{2}+⋯+C_{27}^{27}$除以$9$的余数．

1. 利用等比数列求和公式将原式求和并化简

$1+2+2^{2}+\dots+2^{5n-1} = \frac{2^{5n}-1}{2-1} = 2^{5n}-1$

2. 将化简后的式子改写，以便套用二项式定理

$2^{5n}-1 = (2^{5})^{n}-1 = 32^{n}-1 = (31+1)^{n}-1$

3. 利用二项式定理展开并提取公因数进行证明

根据二项式定理展开得：
$(31+1)^{n}-1 = C_{n}^{0} \cdot 31^{n} + C_{n}^{1} \cdot 31^{n-1} + \dots + C_{n}^{n-1} \cdot 31 + C_{n}^{n} - 1$
因为 $C_{n}^{n} = 1$，消去常数项后得：
$31 \cdot (C_{n}^{0} \cdot 31^{n-1} + C_{n}^{1} \cdot 31^{n-2} + \dots + C_{n}^{n-1})$
显然括号内为整数，故原式能被 $31$ 整除。

1. 利用二项式系数和公式化简代数式 S

已知 $C_{27}^{0}+C_{27}^{1}+C_{27}^{2}+\dots+C_{27}^{27} = 2^{27}$，
所以 $S = C_{27}^{1}+C_{27}^{2}+\dots+C_{27}^{27} = 2^{27} - C_{27}^{0} = 2^{27} - 1$。

2. 将 S 改写成含有 9 的底数形式

$S = 2^{27}-1 = (2^{3})^{9}-1 = 8^{9}-1 = (9-1)^{9}-1$

3. 展开式子并求得除以 9 的余数

对 $(9-1)^{9}-1$ 按二项式定理展开得：
$(9-1)^{9}-1 = C_{9}^{0} \cdot 9^{9} - C_{9}^{1} \cdot 9^{8} + \dots + C_{9}^{8} \cdot 9 - C_{9}^{9} - 1$
$= 9 \cdot (C_{9}^{0} \cdot 9^{8} - C_{9}^{1} \cdot 9^{7} + \dots + C_{9}^{8}) - 2$
设整数 $k = C_{9}^{0} \cdot 9^{8} - C_{9}^{1} \cdot 9^{7} + \dots + C_{9}^{8}$，则：
$S = 9k - 2 = 9(k-1) + 7$
因此 $S$ 除以 $9$ 的余数是 $7$。