已知$a$是$A=7^{n}+C_{n}^{1}7^{n-1}+C_{n}^{2}7^{n-2}+⋯+C_{n}^{n-1}7(n$为正奇数$)$被$4$整除的余数，则$∫_{1}^{e}(x+\dfrac{a}{x}){\rm d}x$的值为$(\quad)$

A. $\dfrac{e^{2}+5}{2}$

B. $\dfrac{e^{2}+1}{2}$

C. $\dfrac{e^{2}-1}{2}$

D. $\dfrac{e^{2}-5}{2}$

1. 利用二项式定理化简代数式 $A$

已知 $A=7^{n}+C_{n}^{1}7^{n-1}+C_{n}^{2}7^{n-2}+⋯+C_{n}^{n-1}7$。
根据二项式定理，有：
$(7+1)^n = C_n^0 7^n + C_n^1 7^{n-1} + C_n^2 7^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 7^1 + C_n^n 7^0$
因为 $C_n^0 = 1$ 且 $C_n^n = 1$，所以上式可化为：
$(7+1)^n = 7^n + C_n^1 7^{n-1} + C_n^2 7^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 7^1 + 1$
从而，得：
$A = (7+1)^n - 1 = 8^n - 1$。

2. 求出 $A$ 被 $4$ 整除的余数 $a$

因为 $n$ 为正奇数，所以 $n \ge 1$。
由此可得 $8^n$ 是 $4$ 的倍数，即 $8^n \equiv 0 \pmod 4$。
所以 $A = 8^n - 1 \equiv -1 \equiv 3 \pmod 4$。
因此， $A$ 被 $4$ 整除的余数 $a = 3$。

3. 利用微积分基本定理计算定积分的值并确定选项

将 $a = 3$ 代入积分式中，得：
$\int_{1}^{e}\left(x+\dfrac{3}{x}\right){\rm d}x$
其原函数为 $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 3\ln x$。
根据微积分基本定理：
$\int_{1}^{e}\left(x+\dfrac{3}{x}\right){\rm d}x = \left.\left(\dfrac{1}{2}x^2 + 3\ln x\right)\right|_{1}^{e}$
$= \left(\dfrac{1}{2}e^2 + 3\ln e\right) - \left(\dfrac{1}{2}\cdot 1^2 + 3\ln 1\right)$
$= \left(\dfrac{1}{2}e^2 + 3\right) - \dfrac{1}{2}$
$= \dfrac{e^2+5}{2}$。
所以，正确选项为 A。