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定积分计算

定积分的计算

这个知识点的练习题

1图中显示了曲线 $y = g(x)$ 的一部分。 $(2, 8)$ 和 $(6, 1)$ 是曲线上的两个点。已知 $\int_{2}^{6} y \text{ } dx = 32$ ，求 $\int_{1}^{8} x \text{ } dy$ …
2一名驾驶员以恒定速度 V m/s 行驶，经过一个固定点 X 并看到前方车辆很少。他踩下油门，随后他的速度 v m/s 由 $v = 60e^{t/6}$ 给出，其中 $t$ 是通过 X 后的时间（以秒为单位）。当他通过点 Y 时，他的速度已…
3将 $\frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}$ 表示为部分分式。将 $\frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}$ 表示为部分分式。由此，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}\,\mathrm{d}x$ …
4已知 $y = 4x \sin 2x$ 。证明 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 可以表示为 $ax \cos 2x + b \sin 2x$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $x$ 以每…
5将 $\dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}$ 表示为部分分式。由此计算 $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}\,dx$ 。已知 $y = x\ln\left(x^{2}+3x+2\right)$ …
6如图所示为曲线 $y = (1 - x)(x - 4)$ 的一部分以及两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 。直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别是曲线在点 $P$ 和 $Q$ 处的切线，斜率分别为 $2$ 和 $-2$ 。证明 $P$ 和…
7一质点在直线上运动，使得在离开固定点 $O$ 之后 $t$ 秒，其速度 $v$ 由 $v = \frac{36}{(t-3)^2} - 9$ 给出。求质点的初始加速度。质点瞬时静止时 $t$ 的值。质点在头 2 秒内运动的总路程。
8下图显示了 $y = \frac{1}{2x+1}$ 的图像以及该曲线在其与 $y$ 轴交点处的切线。求切线的方程。计算阴影区域的面积。
9证明 $\frac{d}{dx}(\tan^{3} 2x) = 6\sec^{4} 2x - 6\sec^{2} 2x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/8} \sec^{4} 2x\, dx$ 的精确值…
10将 $\frac{2x+15}{(3+x)(3-2x)}$ 表示为部分分式。由此求 $\int_{0}^{1} \frac{2x+15}{(3+x)(3-2x)} \, dx$ 的值。
11图中显示了曲线 $y = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}x - 5\right)^2} + 1$ 的一部分。 $P$ 是曲线上 $x = 6$ 的点。曲线在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $Q$ 。求 $Q$ …
12求 $4xe^{3x}$ 关于 $x$ 的导数。由此求 $\int_{0}^{3} 6xe^{3x} \text{d}x$ 的值，结果用精确形式表示。
13求 $3x \sin 2x$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x \text{ d}x$ 的值。
14 $∫_{-2}^{2}(\sin x+\sqrt{4-x^{2}}){\rm d}x=(\quad)$ A. $4$ B. $2π$ C. $4+2π$ D. $8$
15已知 $y = 2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x$ ，证明 \dfrac{dy}{dx} = k\cos x \cos 2x $，并写出$ k $的值。由此证明 $$\int_{0}^{\pi/4}\left(7\cos x\cos 2x + \sec^{2} x\right)\,dx = \dfrac{7\sqrt{2}}{3} + 1.$ …
16 $\int _{2}^{4}\dfrac{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}}dx$ 的值为 $()$ A. $1$ B. $\dfrac{1}{4}$ C. $\dfrac{5}{4}$ …
17一个质点在直线上运动，其速度 $v\text{ m/s}$ 由 $v = 9\sin\left(\frac{t}{2}\right)$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 $O$ 之后的秒数。求质点在离开 $O$ 后首次瞬时静止时的 $t$ …
18图中显示了曲线 $y = 4 - e^{-2x}$ 的一部分，它与坐标轴相交于 $A$ 和 $B$ 两点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $C$ 点。求 $C$ 的坐标。求阴影区域的面积…
19图中显示了曲线 $y = e^{x-1} - 2$ 的一部分。点 $P(2,\ e-2)$ 在该曲线上，且曲线在点 $P$ 处的法线交 $x$ 轴于点 $Q$ 。用 $e$ 表示点 $Q$ 的 $x$ 坐标。求阴影区域的总面积。
20计算定积分 $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx$ 。
21计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{2} \sin 3x - \cos^2 x \right) dx$ ，结果精确到两位小数。
22求阴影区域的面积。上图未按比例绘制。
23证明 $\dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2} x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cot^{2} x\, dx$ 的值。
24该图显示了曲线 $y = -3(2x-4)^{-1/3}$ 的一部分。点 $P(-2,\ 1.5)$ 位于该曲线上，且该曲线在点 $P$ 处的法线与 x 轴交于点 $Q$ 。求 $Q$ 的坐标。求由该曲线、法线 $PQ$ 和坐标轴围成的阴…
25图中显示了曲线 $y = \\sqrt{2x + 4}$ 的一部分，曲线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ 。曲线在点 $B$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。写出 $B$ 点的坐标。求 $C$ 点的坐标。…
26该图显示了曲线 $y = 2 \sin 2x + 1$ 的一部分。 $P$ 是该曲线的最高点，而 $Q$ 是曲线上切线斜率为 $-4$ 的点。求 $P$ 和 $Q$ 的坐标。求由曲线、坐标轴、直线 $PQ$ 和垂直线 $QR$ 围成的阴影…
27如图所示为曲线 $y = x^3 + 3x^2 - 2$ 的一部分。直线 $L$ 与曲线相交于 $A(-3, -2)$ ，与 x 轴相交于 $B$ ，并再次与曲线相交于 $C$ 。已知该曲线在点 $B$ 处的切线斜率为 $-3$ ，求点 $B$ …
28已知 $y = (x-3)\sqrt{x+1}$ 。以 $\dfrac{ax-b}{2\sqrt{x+1}}$ 的形式求 $\dfrac{dy}{dx}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。由此求 $\displaystyle\int_0^3 \dfrac{9x}{\sqrt{x+1}}\,dx$ …
29图示为曲线 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1} {2}\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ 的一部分，且 $P(3,\,2.25)$ 是该曲线上的一点。利用微积分，写出完整的计算过程，判断…
30图中显示了曲线 $y = 2\sin\frac{x}{2}$ 的一部分，其中点 $A$ 在该曲线上。点 $A$ 的 $x$ 坐标为 $\frac{4\pi}{3}$ ，曲线在点 $A$ 处的法线与 $x$ 轴交于 $B$ 点，与 $y$ 轴…
31求曲线 $y = x^2$ 与 $y = 2x$ 围成的封闭图形的面积。
32已知 $y = \dfrac{4x}{\sqrt{3-2x}}$ ，证明 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{12-4x}{\sqrt{(3-2x)^3}}$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{3 - x}{\sqrt{(3 - 2x)^3}}\, dx$ …
33图示为当 $0 \le x \le \pi$ 时，曲线 $y = \cos x + \sin x$ 。该曲线与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ 。证明点 $B$ 的 $x$ 坐标为 $\frac{3\pi}{4}$ 。…
34将 $\dfrac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}$ 展开为部分分式。求 $\ln\left(x^2 + 4\right)$ 对 $x$ 的导数。利用前两部分的结论，求 $\displaystyle \int_0^1 \frac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}\,\mathrm{d}x$ …
35图中显示了曲线 $y = \frac{15}{(0.5x+1)}$ 的一部分和一条直线 $y = 1.25x - 10$ 。该直线与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，与 $x$ 轴相交于点 $Q$ ，与曲线相交于点 $R$ 。求 $P$ 和 $Q$ …
36求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(3x^{2}\ln x\right)$ 。由此求出 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 。图中显示了直线 $x = 2$ 和曲线 $y = x\ln x$ …
37已知 $f(x) = \begin{cases} \sqrt{4a^2 - x^2} & \text{对于 } 0 \le x \le 2a, \\ 3x - 6a & \text{对于 } 2a < x < 3a, \end{cases}$ …
38图中显示了曲线 $y = \frac{5}{2x - 1}$ 的一部分。直线 $9y = -10x + 55$ 与该曲线相交于点 $A$ 和 $B$ ，并与 $x$ 轴相交于点 $C$ 。 $CD$ 是与 $y$ 轴平行的直线。求点 $A$ 、 $B$ …
39该图显示了曲线 $y = \frac{7}{6x + 1}$ 的一部分与 $y$ 轴交于点 $A(0, 7)$ 。在点 $K(1, 1)$ 处的曲线切线与 $y$ 轴相交于点 $B$ 。求 $B$ 的坐标。求由曲线、切线 $KB$ 和 $y$ …
40已知 $a$ 是 $A=7^{n}+C_{n}^{1}7^{n-1}+C_{n}^{2}7^{n-2}+⋯+C_{n}^{n-1}7(n$ 为正奇数 $)$ 被 $4$ 整除的余数，则 $∫_{1}^{e}(x+\dfrac{a}{x}){\rm d}x$ …
41设 $a= \int _{ 0 }^{ π }(\sin x+\cos x)dx$ ，且二项式 $(a \sqrt {x}- \dfrac {1}{ \sqrt {x}})^{n}$ 的所有二项式系数之和为 $64$ ，则其展开式中含 $x^{2}$ …
42已知 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x(5x-2)}{\sqrt{2x-1}}$ 。确定 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ 是否始终为增函…
43求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl((2x-3)e^{2x}\bigr)$ 。由此计算 $\displaystyle\int_0^1 4xe^{2x}\,\mathrm{d}x$ 的值，结果用精确…
44一个质点 $P$ 沿直线运动，在离开定点 $O$ 后的 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 10e^{-2t} - 3$ 给出。求 $P$ 的初速度。求当 $t = 1$ 时 $P$ 的加速度。求当 $P$ 处于瞬时静…
45一个质点从点 P 向点 O 运动。在通过点 P 之后 $t$ 秒，质点的速度可以用公式 $v = (k - 2t)^n$ 来建模，其中 $k$ 和 $n$ 是常数。当 $t = 3.5$ 时，质点的速度为 27 m/s；当 $t = 8$ …
46已知 $y = (x + 2)\sqrt{x - 1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{kx}{2\sqrt{x - 1}}$ ，其中 $k$ 为常数。由此已知 $y$ 以每秒 2 个单位…
47一条曲线的方程为 $y = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \tan x \sec x - \sec^2 x$ 。由此求出 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \sec x \, dx$ …
48一辆在一条水平直路上来回行驶的踏板车以 $p\ \text{m s}^{-1}$ 的速度通过一个固定点 O。通过 O 点后 $t$ 秒，该踏板车的速度 $v\ \text{m s}^{-1}$ 由以下公式给出： $v = 7 - 8\sin \tfrac{1}{3}t.$ …
49图中显示了曲线 $y=(9-x)(x-3)$ 的一部分以及直线 $y=k-3$ （其中 $k>3$ ）。过曲线最高点且平行于 y 轴的直线与 x 轴交于 A 点。曲线与 x 轴交于 B 点，直线 $y=k-3$ 与曲线交于点 $C(k,\,k-3)$ …
50一个质点在一条直线上运动，其上有一固定点 $O$ 。质点的速度 $v$ m/s 由 $v = \dfrac{25}{2t+1} + 10$ 给出，其中 $t$ 是通过 $O$ 后的时间（以秒为单位）。解释为什么该质点从未改变其运动方向，并且…
51已知 $y = (2x - 1)^3 \ln \sqrt{2x - 1}$ 。证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 6(2x - 1)^2 \ln \sqrt{2x - 1} + (2x - 1)^2$ 。由此…
52图中显示了方程为 $y = x^2$ 的曲线 $C$ 以及方程为 $y = 2x-1$ 的直线 $L$ 。直线 $L$ 在点 $(1,1)$ 处与 $C$ 相切。位于第一象限的区域 $R$ 由曲线 $C$ 、直线 $L$ 和 $x$ 轴围成。…
53图中展示了曲线 $y = \sqrt{3x-2}$ 的一部分。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。已知点 $B$ 的 $x$ 坐标为 9，求 $A$ 点和 $C$ 点的坐标，阴影区域的面积。
54图中的图象显示了在 $0 \le x \le \frac{3}{2}\pi$ 弧度范围内的曲线 $y = 4 - 2\cos 2x$ 以及一条通过点 $P$ 和 $R$ 的直线。 $P$ 的坐标为 $(0, -1)$ ，且 $R$ 是曲线的一个…
55回答所有问题。对 $2xe^{1-2x}$ 关于 $x$ 求导。由此求出 $\int_{0}^{1} 2xe^{1-2x} \text{d}x$ 的准确值。确定下方两幅图中哪一幅是 $y = 2xe^{1-2x}$ 的图像。解释你的答…
56证明 $\frac{d}{dx}\left[x(3x-2)^{\frac{4}{3}}\right] = (7x-2)(3x-2)^{\frac{1}{3}}$ 。由此求 $\int x(3x-2)^{\frac{1}{3}} dx$ 的值…
57图中的图象显示了曲线 $y = \sqrt{2x+5}$ 的一部分。A 是曲线上的一个点，且 A 的 x 坐标为 2。曲线在点 A 处的法线与 x 轴交于点 B。求曲线在点 A 处的法线方程。求由法线 $AB$ 、曲线、x 轴和 y 轴所…
58图示为曲线 $y = 5 + \frac{4}{e^{2x}}$ 的一部分，该曲线与 $y$ 轴交于点 $P$ 。曲线在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴交于 $Q$ 。求阴影区域的面积。
59一个质点沿直线运动，通过固定点 $O$ 之后 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 22 + 7t - 2t^2$ 给出。质点在 $P$ 处瞬时静止。求：加速度为零时质点的速度，质点在 $P$ 处时的 $t$ 值，距离…
60图中显示了曲线 $y = x(x-2)^2$ 的一部分，该曲线过点 $P(1, 1)$ 。证明 $OP$ 的方程为 $y = x$ 。证明 $OP$ 是曲线在点 $P$ 处的法线。求由曲线与直线 $OP$ 所围成的阴影区域的面积。