图中显示了方程为 $y = x^2$ 的曲线 $C$ 以及方程为 $y = 2x-1$ 的直线 $L$。直线 $L$ 在点 $(1,1)$ 处与 $C$ 相切。位于第一象限的区域 $R$ 由曲线 $C$、直线 $L$ 和 $x$ 轴围成。

1. 求直线 $L$ 与 $x$ 轴交点的横坐标

令 $y = 0$，解直线方程 $2x - 1 = 0$，得：
$x = \frac{1}{2}$
因此直线 $L$ 与 $x$ 轴交于点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$。

2. 列出表示区域 $R$ 面积的表达式

区域 $R$ 的面积等于曲线 $C$ 在 $[0, 1]$ 区间下方的面积减去直线 $L$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 区间下方的三角形面积：
$\text{面积 } A = \int_{0}^{1} x^2 \, dx - \int_{1/2}^{1} (2x - 1) \, dx$

3. 计算定积分并求出区域 $R$ 的精确面积

计算曲线下方的面积：
$\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$
计算直线下方的三角形面积：
$\int_{1/2}^{1} (2x - 1) \, dx = \frac{1}{2} \times \left(1 - \frac{1}{2}\right) \times 1 = \frac{1}{4}$
因此区域 $R$ 的面积为：
$A = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

1. 计算曲线 $C$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得图形的体积 $V_1$

曲线 $y = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上绕 $x$ 轴旋转形成的旋转体体积为：
$V_1 = \pi \int_{0}^{1} (x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} x^4 \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{5}$

2. 计算直线 $L$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得圆锥的体积 $V_2$

直线 $y = 2x - 1$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上绕 $x$ 轴旋转形成底面半径为 $1$、高为 $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 的圆锥，其体积为：
$V_2 = \pi \int_{1/2}^{1} (2x - 1)^2 \, dx = \pi \left[ \frac{(2x - 1)^3}{6} \right]_{1/2}^{1} = \frac{\pi}{6}$
（亦可用圆锥体积公式计算：$V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (1)^2 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$）

3. 计算区域 $R$ 旋转所得旋转体的精确体积

区域 $R$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为：
$V = V_1 - V_2 = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{30}$