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旋转体体积

绕 xx 轴或 yy 轴的旋转体体积。

这个知识点的练习题

  1. 1曲线 CC 由参数方程定义 x=t−sin⁡tx = t - \sin t，y=sin⁡2ty = \sin^{2} t，  0≤t≤π\;0 \le t \le \pi。 曲线 CC 上的点 AA 对应的参数为 π2\dfrac{\pi}{2}，且是一个极大值点。直线…
  2. 2下图显示了 y=f(x)y = f(x) 的图像。该曲线在 (0,a)(0,a) 处有一个极值点，且直线 y=±kxy = \pm kx 是该曲线的渐近线，其中 aa 和 kk 是正实常数。 [续] 现在已知 f(x)=a1+x2\mathrm{f}(x) = a\sqrt{1+x^2}…
  3. 3已知 C=∫0πe−2xcos⁡x  dxC = \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-2x} \cos x \; \mathrm{d}x 且 S=∫0πe−2xsin⁡x  dxS = \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-2x} \sin x \; \mathrm{d}x…
  4. 4函数 f 定义为 f(x)=ln⁡(5−x),  x<5f(x)=\ln(5-x),\; x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 x 轴和 y 轴所围成的区域绕 y 轴完全旋转一周所得旋转体的体积。答案精确到两位小数。 写出使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)| 成立的…
  5. 5通过换元法 u=x+1u = \sqrt{x+1}，求 ∫x+1x−1 dx\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}}{x-1}\,dx。 区域 RR 由曲线 y=x+1x−1y = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} 以及直线…
  6. 6画出方程为 x2400+(y−10)2900=1.\frac{x^2}{400} + \frac{(y-10)^2}{900} = 1. 的曲线草图。 [无需在曲线上标出 xx 轴截距。] 由该曲线、 xx 轴、 yy 轴以及直线 y=30y = 30 所围成的位于第…
  7. 7求 ∫x2e−2x dx\displaystyle\int x^{2}e^{-2x}\,\mathrm{d}x。 方程为 y=xe−xy = xe^{-x} 的曲线与方程为 y=1exy=\tfrac{1}{e}x 的直线相交于原点 OO 和 xx 坐标为 1 的点…
  8. 8曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的精确面积。 曲线 CC 的参数方程定义…
  9. 9曲线 CC 的方程为 y=2ax+bxy = 2ax + \frac{b}{x}，其中 aa 和 bb 为非零实常数且 x≠0x \ne 0。 利用求导，确定当 ab<0ab < 0 时曲线 CC 是否存在任何驻点。 现在已知 b=12ab = \frac{1}{2}a…
  10. 10上图显示了对于 xge0x \\ge 0，y=f(x)y=f(x) 的函数图像草图。在 1lexle31 \\le x \\le 3 范围内，曲线下方画有 nn 个宽度均为 hh 的矩形。每个矩形绕 x 轴旋转 2π2\pi 弧度，都会得到一个圆柱形薄片。这…
  11. 11求 ∫x2e−2x dx\int x^{2} e^{-2x}\, dx。 方程为 y=xe−xy = x e^{-x} 的曲线与方程为 y=1exy = \tfrac{1}{e} x 的直线相交于原点 OO 和 xx 坐标为 1 的点 PP。区域 RR 由该曲线…
  12. 12曲线 CC 的方程为 y=xcos⁡2xy = x\cos 2x，其中 0≤x≤π0 \le x \le \pi。 求 CC 与 xx 轴相交之点的精确 xx 坐标。 画出 CC 的草图，并写出该曲线与 xx 轴和 yy 轴的所有交点的坐标。 求…
  13. 13求 π∫16x3 dx\pi \int_{1}^{6} x^3 \text{ d}x 的准确值。 图中给出了曲线 y=x32y = x^{\frac{3}{2}} 的草图，其中 x≥0x \ge 0。曲线下方介于 x=1x = 1 和 x=6x = 6 之间的区域（…
  14. 14求 ∫6+2x1−4x−x2 dx\displaystyle \int \dfrac{6+2x}{\sqrt{1-4x-x^2}}\,\mathrm{d}x。 上图所示为由方程为 y=ln⁡xxy=\dfrac{\sqrt{\ln x}}{x}（x≥1x \ge 1）的曲线 CC…
  15. 15求 ∫xsin⁡2x dx\displaystyle \int x \sin^{2} x \, dx 。 区域 R 由曲线 y=xsin⁡xy = \sqrt{x \sin x}、直线 x = 0 和 x=πx = \pi 以及 x 轴围成。求区域 R 绕 x 轴旋转一周…
  16. 16区域 RR 由直线 y=0y=0、y=523y=\dfrac{5}{2}\sqrt{3} 和曲线 x2=25−y2x^2 = 25 - y^2 围成。将 RR 绕 y 轴旋转 π\pi 弧度。利用换元法 y=5sin⁡θy = 5\sin\theta，求所得旋转体的…
  17. 17求由图象 y=2x2+3y = 2x^2 + 3 和 y=−2x+7y = -2x + 7 围成的区域面积。 若两个图象都沿 yy 轴负方向平移 7 个单位，写出由这两个图象围成的区域面积。 区域 RR 由 y=2x2+3y = 2x^2 + 3、y=−2x+7y = -2x + 7…
  18. 18通过两次分部积分证明：∫e2xsin⁡x dx=15e2x(2sin⁡x−cos⁡x)+c.\int e^{2x}\sin x\,dx=\tfrac{1}{5}e^{2x}(2\sin x-\cos x)+c. 下图显示了阴影区域 RR，该区域由曲线 y=ex−π/2sin⁡xy= e^{x-\pi/2}\sqrt{\sin x}…
  19. 19在同一坐标系中，草绘 y=sin⁡2xy = \sin 2x 和 y=cos⁡xy = \cos x 在 0≤x≤π20 \le x \le \frac{\pi}{2} 上的图像，并写出曲线与坐标轴交点的精确坐标。 求不等式 sin⁡2x>cos⁡x\sin 2x > \cos x（其中…
  20. 20下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围成的区域 RR。求 RR 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围…
  21. 21曲线 C 是一个半径为 2、圆心在原点的圆，其方程为 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4。直线 L 的方程为 3y=x+2\sqrt{3}y = x + 2。下方图示显示了由 C 和 L 所围成的阴影区域 A。 使用换元法 x=2sin⁡θx = 2\sin\theta…
  22. 22该图显示了方程为 y=2sin⁡−1xy = 2\sin^{-1}x 的曲线 CC 以及方程为 y=8π3x−πy = \frac{8\pi}{3}x - \pi 的直线 LL。CC 和 LL 相交于 x=12x = \frac{1}{2} 的点。 区域 SS…
  23. 23使用代换 x=1+sin⁡ux=1+\sin u 求 ∫2x−x2 dx\int\sqrt{2x-x^{2}}\,dx。 包含点 (0,1) 的有界区域 RR 由曲线 y=∣x∣3+∣x∣y=|x|^{3}+|x| 和 y=∣x∣+2−2∣x∣−x2y=|x|+2-\sqrt{2}|x|-x^{2} 围成。…
  24. 24曲线 C1C_1 和 C2C_2 的方程分别为 y=x−bx−ay=\dfrac{x-b}{x-a} and y=x−bby=\dfrac{x-b}{b}，其中 aa 和 bb 是常数，且 1<a<b1<a<b。 证明 C1C_1 和 C2C_2 交点的 xx…
  25. 25曲线 GG 的方程为 y=ax+b+c(x+1)2y = ax + b + \dfrac{c}{(x+1)^2}，其中 aa、bb 和 cc 是正整数。 设 RR 是由曲线 GG、坐标轴以及直线 x=3x = 3 围成的区域。 解释为什么对于所有 x>0x > 0…
  26. 26上图展示了当 x≥0x \ge 0 时 y=f(x)y = \text{f}(x) 的函数图像简图。在曲线下方，在区间 1≤x≤31 \le x \le 3 上画有 nn 个宽度均为 hh 的矩形。当每个矩形绕 xx 轴旋转 2π2\pi 弧度时，将…
  27. 27由曲线 x=5−(y−1)2x = 5 - (y - 1)^2、直线 y=−xy = -x 和 xx 轴围成的阴影区域 R 绕 xx 轴旋转 360∘360^\circ。求所得旋转体的体积，答案保留两位小数。
  28. 28图中显示了方程为 y=12(3x+2)2+4y = \frac{12}{(3x+2)^2 + 4} 的曲线 CC，其转向点为 (−23,3)\left(-\frac{2}{3}, 3\right)。区域 RR 由曲线 CC、yy 轴以及直线 y=3y = 3 围成。…
  29. 29设 RR 是由曲线 y=4xy = 4\sqrt{x} 和 y=x2+1y = x^2 + 1 围成的区域。 求区域 RR 的面积。 如果直线 x=cx = c 将区域 RR 分为两个面积相等的区域，求 cc 的值。 求区域 RR 绕 yy…
  30. 30上图显示了 x≥0x\ge 0 时 y=f(x)y=f(x) 的函数图像草图。在 1≤x≤31\le x\le 3 范围内的曲线下方绘制了 nn 个宽度均为 hh 的矩形。当每个矩形绕 x 轴旋转 2π2\pi 弧度时，将形成一个圆盘。这 nn 个圆…
  31. 31喷嘴通常用于软管的末端，以引导和加速水流。下图表示一个喷嘴的侧视图。 喷嘴本身由外表面和内表面之间的固体材料组成（图中阴影部分）。水流过由内表面包围的空心区域 ABCD。喷嘴的外表面是通过将方程为 y2=k+2k(x+1)(x+2),for 0≤x≤k, where k∈R,  k≥1,y^{2} = k + \dfrac{2k}{(x+1)(x+2)},\qquad\text{for }0\le x\le k,\text{ where }k\in\mathbb{R},\;k\ge 1, …
  32. 32曲线 GG 的方程为 y=1cos⁡x+cos⁡xy = \frac{1}{\cos x} + \cos x。 由 GG、直线 x=π3x = \frac{\pi}{3}、xx 轴和 yy 轴围成的区域绕 xx 轴旋转一周。求所得旋转体的精确体积，结果用 π\pi…
  33. 33图中显示了方程为 y=x2y = x^2 的曲线 CC 以及方程为 y=2x−1y = 2x-1 的直线 LL。直线 LL 在点 (1,1)(1,1) 处与 CC 相切。位于第一象限的区域 RR 由曲线 CC、直线 LL 和 xx 轴围成。…
  34. 34曲线 P 由 y=−sin⁡2xy = -\sin^2 x 定义，其中 −π≤x≤0-\pi \le x \le 0。 有界区域 R 由曲线 P、y 轴以及直线 x=−π2x = -\frac{\pi}{2}、y=−2y = -2 围成。 求 P 的极小值点的精确坐标。…
  35. 35画出方程为 x2400+(y−10)2900=1.\displaystyle\frac{x^2}{400}+\frac{(y-10)^2}{900}=1. [无需在曲线上标出 x 轴截距。] 由该曲线、x 轴、y 轴以及直线 y=30y=30 所围成的位于第一象限的区域绕…
  36. 36[在本题中，所有长度的测量单位均为米。] 要建造一座纪念碑，它由两部分组成——主体结构和底座。主体结构是将曲线 y=3sin⁡(2x2)y = 3\sin\left(2x^2\right)、 y=x2y = x^2 以及直线 x=π8x = \sqrt{\frac{\pi}{8}}…
  37. 37曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的面积精确值。 曲线 CC 的参数方程定…
  38. 38曲线 CC 是一个半径为 2、圆心在原点的圆，其方程为 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4。直线 LL 的方程为 3y=x+2\sqrt{3}y = x + 2。下图显示了由 CC 和 LL 所围成的阴影区域 AA。 利用换元法 x=2sin⁡θx = 2\sin\theta…
  39. 39曲线 CC 的参数方程为 x=2cos⁡t+1,y=sin⁡t,0≤t<2π.x = 2\cos t + 1, \quad y = \sin t , \quad 0 \le t < 2\pi . 画出 CC 的草图，标出其与 xx 轴交点的坐标。 求当 CC 绕 xx 轴旋…
  40. 40函数 ff 定义为 f(x)=ln⁡(5−x)f(x)=\ln(5-x)，其中 x<5x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 xx 轴和 yy 轴围成的区域绕 yy 轴完全旋转一周所产生的旋转体体积。结果保留两位小数。 求使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)|…
  41. 41函数 ff 定义为 f(x)=ln⁡(5−x)f(x) = \ln(5-x)，其中 x<5x < 5。 求由曲线 y=f(x)y = f(x) 与 xx 轴和 yy 轴所围成的区域绕 yy 轴完全旋转一周所生成的旋转体体积。结果保留两位小数。 (i) 写出满足 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|) = |f(x)|…
  42. 42区域 RR 由方程为 y=xln⁡xy = x \ln x 的曲线、直线 x=ex = \text{e}、x=e2x = \text{e}^2 以及 xx 轴围成。求 RR 绕 xx 轴旋转 2π2\pi 弧度所得旋转体的精确体积。将你的答案写成…
  43. 43求 ∫9u−84+9u2 du\displaystyle \int \frac{9u-8}{4+9u^2}\,\mathrm{d}u。 曲线 CC 由参数方程给出： x=u2+u+1x = u^2 + u + 1，y=9u4+9u2y = \dfrac{9u}{4+9u^2}，其中 u≥0u \ge 0…
  44. 44曲线 CC（如下图所示）的方程为 y=x2sin⁡xy = x^2 \sin x，−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi。 计算由 CC 和 xx 轴所围成的区域 RR 的精确面积。 绘制方程为 (y+1)2−4(x+2)2=1(y + 1)^2 - 4(x + 2)^2 = 1…