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曲线与直线所围面积

求解由曲线与直线围成的区域面积（不包括两条曲线之间围成的区域面积）

这个知识点的练习题

  1. 1图中显示了曲线 y=g(x)y = g(x) 的一部分。(2,8)(2, 8) 和 (6,1)(6, 1) 是曲线上的两个点。 已知 ∫26y dx=32\int_{2}^{6} y \text{ } dx = 32，求 ∫18x dy\int_{1}^{8} x \text{ } dy…
  2. 2图示为曲线 y=3e−12x−6y = 3e^{-\frac{1}{2}x} - 6 的一部分，该曲线与 xx 轴相交于点 PP，与 yy 轴相交于点 QQ。曲线在点 QQ 处的法线与 xx 轴交于点 RR。求 法线的方程， 阴影区域的面积。
  3. 3图中显示了曲线 y=3x+4y = \sqrt{3x + 4} 的一部分。直线 ABAB 在点 AA 处与曲线相切。点 BB 和 CC 位于 xx 轴上，且 CC 是曲线上的一个点。已知该曲线在点 AA 处的切线斜率为 32\frac{3}{2}…
  4. 4如图所示为曲线 y=(1−x)(x−4)y = (1 - x)(x - 4) 的一部分以及两条直线 l1l_1 和 l2l_2。直线 l1l_1 和 l2l_2 分别是曲线在点 PP 和 QQ 处的切线，斜率分别为 22 和 −2-2。 证明 PP 和…
  5. 5下图显示了 y=12x+1y = \frac{1}{2x+1} 的图像以及该曲线在其与 yy 轴交点处的切线。 求切线的方程。 计算阴影区域的面积。
  6. 6图中显示了曲线 y=1(34x−5)2+1y = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}x - 5\right)^2} + 1 的一部分。PP 是曲线上 x=6x = 6 的点。曲线在点 PP 处的切线与 xx 轴相交于点 QQ。 求 QQ…
  7. 7图中显示了曲线 y=4−e−2xy = 4 - e^{-2x} 的一部分，它与坐标轴相交于 AA 和 BB 两点。 求 AA 和 BB 的坐标。 曲线在 BB 点处的法线与 xx 轴交于 CC 点。 求 CC 的坐标。 求阴影区域的面积…
  8. 8图中显示了曲线 y=4x+5y = \sqrt{4x + 5} 的一部分。曲线在 PP 点处的法线与 xx 轴交于 TT。PP 的 xx 坐标为 5。已知 PTPT 是 PQPQ 的两倍，且 RQRQ 平行于 xx 轴， 求 PP 点…
  9. 9求阴影区域的面积。上图未按比例绘制。
  10. 10该图显示了曲线 y=−3(2x−4)−1/3y = -3(2x-4)^{-1/3} 的一部分。点 P(−2, 1.5)P(-2,\ 1.5) 位于该曲线上，且该曲线在点 PP 处的法线与 x 轴交于点 QQ。 求 QQ 的坐标。 求由该曲线、法线 PQPQ 和坐标轴围成的阴…
  11. 11图中显示了曲线 y=sqrt2x+4y = \\sqrt{2x + 4} 的一部分，曲线与 xx 轴交于点 AA，与 yy 轴交于点 BB。曲线在点 BB 处的法线与 xx 轴交于点 CC。 写出 BB 点的坐标。 求 CC 点的坐标。…
  12. 12该图显示了曲线 y=2sin⁡2x+1y = 2 \sin 2x + 1 的一部分。PP 是该曲线的最高点，而 QQ 是曲线上切线斜率为 −4-4 的点。 求 PP 和 QQ 的坐标。 求由曲线、坐标轴、直线 PQPQ 和垂直线 QRQR 围成的阴影…
  13. 13如图所示为曲线 y=x3+3x2−2y = x^3 + 3x^2 - 2 的一部分。直线 LL 与曲线相交于 A(−3,−2)A(-3, -2)，与 x 轴相交于 BB，并再次与曲线相交于 CC。 已知该曲线在点 BB 处的切线斜率为 −3-3，求点 BB…
  14. 14图中显示了曲线 y=2sin⁡x2y = 2\sin\frac{x}{2} 的一部分，其中点 AA 在该曲线上。 点 AA 的 xx 坐标为 4π3\frac{4\pi}{3}，曲线在点 AA 处的法线与 xx 轴交于 BB 点，与 yy 轴…
  15. 15求曲线 y=x2y = x^2 与 y=2xy = 2x 围成的封闭图形的面积。
  16. 16图示为当 0≤x≤π0 \le x \le \pi 时，曲线 y=cos⁡x+sin⁡xy = \cos x + \sin x。该曲线与 yy 轴交于点 AA，与 xx 轴交于点 BB。 证明点 BB 的 xx 坐标为 3π4\frac{3\pi}{4}。…
  17. 17图中显示了曲线 y=15(0.5x+1)y = \frac{15}{(0.5x+1)} 的一部分和一条直线 y=1.25x−10y = 1.25x - 10。 该直线与 yy 轴相交于点 PP，与 xx 轴相交于点 QQ，与曲线相交于点 RR。 求 PP 和 QQ…
  18. 18求 ddx(3x2ln⁡x)\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(3x^{2}\ln x\right)。 由此求出 ∫xln⁡x dx\int x\ln x\,\mathrm{d}x。 图中显示了直线 x=2x = 2 和曲线 y=xln⁡xy = x\ln x…
  19. 19图中显示了曲线 y=52x−1y = \frac{5}{2x - 1} 的一部分。直线 9y=−10x+559y = -10x + 55 与该曲线相交于点 AA 和 BB，并与 xx 轴相交于点 CC。CDCD 是与 yy 轴平行的直线。 求点 AA、BB…
  20. 20该图显示了曲线 y=76x+1y = \frac{7}{6x + 1} 的一部分与 yy 轴交于点 A(0,7)A(0, 7)。 在点 K(1,1)K(1, 1) 处的曲线切线与 yy 轴相交于点 BB。 求 BB 的坐标。 求由曲线、切线 KBKB 和 yy…
  21. 21图中显示了方程为 y=x2y = x^2 的曲线 CC 以及方程为 y=2x−1y = 2x-1 的直线 LL。直线 LL 在点 (1,1)(1,1) 处与 CC 相切。位于第一象限的区域 RR 由曲线 CC、直线 LL 和 xx 轴围成。…
  22. 22图中展示了曲线 y=3x−2y = \sqrt{3x-2} 的一部分。曲线在 BB 点处的法线与 xx 轴交于点 CC。已知点 BB 的 xx 坐标为 9，求 AA 点和 CC 点的坐标， 阴影区域的面积。
  23. 23图中的图象显示了在 0≤x≤32π0 \le x \le \frac{3}{2}\pi 弧度范围内的曲线 y=4−2cos⁡2xy = 4 - 2\cos 2x 以及一条通过点 PP 和 RR 的直线。PP 的坐标为 (0,−1)(0, -1)，且 RR 是曲线的一个…
  24. 24图中的图象显示了曲线 y=2x+5y = \sqrt{2x+5} 的一部分。A 是曲线上的一个点，且 A 的 x 坐标为 2。曲线在点 A 处的法线与 x 轴交于点 B。 求曲线在点 A 处的法线方程。 求由法线 ABAB、曲线、x 轴和 y 轴所…
  25. 25图示为曲线 y=5+4e2xy = 5 + \frac{4}{e^{2x}} 的一部分，该曲线与 yy 轴交于点 PP。 曲线在点 PP 处的切线与 xx 轴交于 QQ。 求阴影区域的面积。
  26. 26图中显示了曲线 y=x(x−2)2y = x(x-2)^2 的一部分，该曲线过点 P(1,1)P(1, 1)。 证明 OPOP 的方程为 y=xy = x。 证明 OPOP 是曲线在点 PP 处的法线。 求由曲线与直线 OPOP 所围成的阴影区域的面积。
  27. 27图中显示了曲线 y=39−2xy = \dfrac{3}{9-2x} 的一部分。点 P (3, 1)P\ (3,\ 1) 在该曲线上，且该曲线在点 PP 处的法线与 x 轴相交于点 QQ。 求 QQ 的坐标。 求由曲线、法线 PQPQ 以及坐标轴所围成的阴…
  28. 28如图所示，曲线 y=16(x+1)2−1y = \frac{16}{(x+1)^2} - 1 的一部分与 xx 轴相交于点 MM。 该曲线在点 LL 处的切线与 xx 轴相交于点 NN。 该切线的斜率为 −4-4。 计算阴影区域 LMNLMN 的面积。…
  29. 29图中显示了曲线 y=−10−6xy = -\sqrt{10 - 6x} 的一部分与 xx 轴交于点 A。曲线在 x=−1x = -1 处的点 B 处的法线交 xx 轴于点 C。 求在 B 点处的法线方程。 求阴影区域的面积。
  30. 30如图所示，曲线 y=16+6x−x2y = 16 + 6x - x^2 的一部分与直线 y=26−xy = 26 - x 相交于点 AA 和点 BB。 求 AA 和 BB 的坐标。 曲线 y=16+6x−x2y = 16 + 6x - x^2 与 xx 轴交于点 CC…
  31. 31图中显示了曲线 y=1−sin⁡xy = 1 - \sin x 经过点 PP 的部分。曲线在点 QQ 处与 xx 轴相切。曲线在点 PP 处的切线和法线分别交 xx 轴于点 RR 和 SS。 证明 QQ 的 xx 坐标为 π2\frac{\pi}{2}…
  32. 32图中显示了曲线 y=e(−12x+2)+x−1y = e^{\left(-\frac{1}{2}x + 2\right)} + x - 1 的一部分，该曲线与 yy 轴交于点 RR。曲线在点 P(4,4)P(4, 4) 处的切线与 yy 轴交于点 QQ。 证明阴影部…
  33. 33图中显示了在 0≤x≤π0 \le x \le \pi 弧度范围内的曲线 y=sin⁡2x+xy = \sin 2x + x。点 MM 是曲线的极小值点，且 OMOM 是一条直线。 证明阴影区域的面积为 (3π6+34)\left(\frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{3}{4}\right)…
  34. 34下图显示了曲线 y=x3−12x2+20xy = x^3 - 12x^2 + 20x，它与 xx 轴交于原点 OO 以及点 AA 和 BB。 曲线在点 (8,−96)(8, -96) 处的切线与 xx 轴交于点 CC。 求 AA 和 BB 的坐标。 求切线…
  35. 35图中显示了曲线 y=frac4x+1x−2y = \\frac{4x + 1}{x - 2} 的一部分。 一条直线与曲线相交于点 P(11,5)P(11, 5) 和 Q(3,13)Q(3, 13)。 通过将 frac4x+1x−2\\frac{4x + 1}{x - 2} 表示为 a+fracbx−2a + \\frac{b}{x - 2}…
  36. 36图中显示了曲线 y=82x+3y = \frac{8}{2x+3} 的一部分。曲线在点 S(32,43)S\left(\frac{3}{2}, \frac{4}{3}\right) 处的切线与 yy 轴相交于点 RR。 求 RR 的 yy 坐标。 求阴影…
  37. 37曲线y=cos⁡x(0⩽x⩽3π2)y=\cos x(0\leqslant x\leqslant \dfrac{3\pi }{2})与坐标轴围成的面积是 。