证明 $\frac{d}{dx}\left[x(3x-2)^{\frac{4}{3}}\right] = (7x-2)(3x-2)^{\frac{1}{3}}$。 由此求 $\int x(3x-2)^{\frac{1}{3}} dx$ 的值。 求 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}} x(3x-2)^{\frac{1}{3}} dx$ 的值，并解释该结果对曲线 $y = x(3x-2)^{\frac{1}{3}}$ 意味着什么。

1. Apply the product rule and chain rule to differentiate the expression.

$\frac{d}{dx}\left[x(3x-2)^{\frac{4}{3}}\right] = (1)(3x-2)^{\frac{4}{3}} + x \cdot \frac{d}{dx}\left[(3x-2)^{\frac{4}{3}}\right]$
$= (3x-2)^{\frac{4}{3}} + x \left[ \frac{4}{3}(3x-2)^{\frac{1}{3}}(3) \right]$

2. Simplify the expression and factorise to obtain the final result.

$= (3x-2)^{\frac{4}{3}} + 4x(3x-2)^{\frac{1}{3}}$
$= (3x-2)^{\frac{1}{3}} \left[ (3x-2)^{1} + 4x \right]$
$= (3x-2)^{\frac{1}{3}} (3x - 2 + 4x)$
$= (3x-2)^{\frac{1}{3}} (7x-2)$
$= (7x-2)(3x-2)^{\frac{1}{3}}$ (Shown)

1. Express the integral of the result from part (i) as the original function.

From (i), we know that $\frac{d}{dx}\left[x(3x-2)^{\frac{4}{3}}\right] = (7x-2)(3x-2)^{\frac{1}{3}}$.
Therefore, integrating both sides with respect to $x$ gives:
$\int (7x-2)(3x-2)^{\frac{1}{3}} \, dx = x(3x-2)^{\frac{4}{3}} + c_1$

2. Expand the integrand to separate the required integral.

$\int \left[ 7x(3x-2)^{\frac{1}{3}} - 2(3x-2)^{\frac{1}{3}} \right] \, dx = x(3x-2)^{\frac{4}{3}} + c_1$
$7 \int x(3x-2)^{\frac{1}{3}} \, dx - 2 \int (3x-2)^{\frac{1}{3}} \, dx = x(3x-2)^{\frac{4}{3}} + c_1$

3. Evaluate the remaining integral.

$\int (3x-2)^{\frac{1}{3}} \, dx = \frac{(3x-2)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3} \times 3} = \frac{1}{4}(3x-2)^{\frac{4}{3}}$

4. Rearrange to make the required integral the subject and simplify.

$7 \int x(3x-2)^{\frac{1}{3}} \, dx = x(3x-2)^{\frac{4}{3}} + 2 \left[ \frac{1}{4}(3x-2)^{\frac{4}{3}} \right] + c_2$
$7 \int x(3x-2)^{\frac{1}{3}} \, dx = x(3x-2)^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2}(3x-2)^{\frac{4}{3}} + c_2$
$7 \int x(3x-2)^{\frac{1}{3}} \, dx = (3x-2)^{\frac{4}{3}} \left( x + \frac{1}{2} \right) + c_2$
$\int x(3x-2)^{\frac{1}{3}} \, dx = \frac{1}{7} \left( \frac{2x+1}{2} \right) (3x-2)^{\frac{4}{3}} + c$
$\int x(3x-2)^{\frac{1}{3}} \, dx = \frac{1}{14}(2x+1)(3x-2)^{\frac{4}{3}} + c$