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常见积分公式

任意有理数 $n$ 的 $x^{n}$ 、 $\sin x$ 、 $\cos x$ 、 $\sec^{2}x$ 和 $e^{x}$ 的积分，以及常数倍、和与差的积分

这个知识点的练习题

1已知当 $x>0$ 时， $y = \dfrac{3\ln 2x}{x^2}$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3}{x^3}\left(1 - 2\ln 2x\right).$ 由此，求 $\displaystyle\int \frac{\ln 2x}{x^3}\,dx$ …
2图中显示了曲线 $y = g(x)$ 的一部分。 $(2, 8)$ 和 $(6, 1)$ 是曲线上的两个点。已知 $\int_{2}^{6} y \text{ } dx = 32$ ，求 $\int_{1}^{8} x \text{ } dy$ …
3将 $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2(2x+1)}$ 表示为部分分式。由此对 $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2(2x+1)}$ 关于 $x$ 进行积分。
4一质点从点 $O$ 由静止出发并沿直线运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = 24t - 6t^2$ 给出，其中 $t$ 是其运动开始后的时间（以秒为单位）。求质点瞬时静止时的 $t$ 值。质点何时会返回其起点？判断质点在 2 秒…
5一条曲线的方程由 $y = 5xe^{2x+1}$ 给出。求 $\frac{dy}{dx}$ 。由此，求 $\int xe^{2x+1} \text{ d}x$ 。确定使 $y$ 是递减函数的 $x$ 值范围。
6一个质点 P 在距离定点 O 处 3 m 的位移处开始沿直线运动，初始速度为 8 m/s。质点在运动 $t$ 秒后的速度 $v$ m/s 由 $v = 5\cos t + 2\sin t + c$ 给出。求 $c$ 的值。求质点的初始速…
7一个质点 $P$ 沿直线运动，在通过定点 $O$ 后的 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 3t^2 + kt + 18$ 给出，其中 $k$ 为常数。当 $t = 1$ 时，质点的加速度为 $-9$ m/s $^2$ 。证明…
8求 $\ln\left(\frac{3x}{x^2+1}\right)$ 关于 $x$ 的导数。由此求出 $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ 。
9证明 $\frac{d}{dx}(\tan^{3} 2x) = 6\sec^{4} 2x - 6\sec^{2} 2x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/8} \sec^{4} 2x\, dx$ 的精确值…
10已知 $y = 2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x$ ，证明 \dfrac{dy}{dx} = k\cos x \cos 2x $，并写出$ k $的值。由此证明 $$\int_{0}^{\pi/4}\left(7\cos x\cos 2x + \sec^{2} x\right)\,dx = \dfrac{7\sqrt{2}}{3} + 1.$ …
11 $\int _{2}^{4}\dfrac{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}}dx$ 的值为 $()$ A. $1$ B. $\dfrac{1}{4}$ C. $\dfrac{5}{4}$ …
12回答所有问题已知曲线方程为 $y = 2x\sqrt{2x+1}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{\sqrt{2x+1}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。由此求出 $\int \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}} \, dx$ …
13已知一条曲线的导函数为 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{16}{x^3} - 4$ 。若直线 $2y - x - 6 = 0$ 是该曲线的一条法线，求该曲线的方程。
14计算定积分 $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx$ 。
15一质点 P 沿水平直线运动，在运动开始 $t$ 秒后，它相对于固定点 O 的位移 $s$ m 由下式给出： $s = t^3 + 5t^2 - 2t + 4.$ 用 $t$ 表示 P 的速度。第二个质点 Q 与 P 在同一时刻开始运动…
16一条曲线满足 $\frac{d^2y}{dx^2} = 6e^{3x} - x$ 且经过点 $\left(2, \frac{2}{3}e^6\right)$ 。已知当 $x = 0$ 时 $\frac{dy}{dx} = 5$ ，求该曲线的方…
17一个质点在直线上运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = t^2 - 4t + 3$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 $O$ 后的时间（以秒为单位）。求当 $t = 1$ 时质点的加速度。求质点瞬时静止时 $t$ 的值。求质点静止…
18一个质点沿直线运动，在离开固定点 $O$ 后 $t$ 秒时，其速度 $v\text{ m s}^{-1}$ 由 $v = t^2 - 2kt - 6k$ 给出，其中 $k$ 为常数。质点的最小速度发生在 $t = 2$ 时。证明 $k = 2$ …
19求阴影区域的面积。上图未按比例绘制。
20证明 $\dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2} x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cot^{2} x\, dx$ 的值。
21一名骑行者从家 $O$ 出发沿一条笔直的道路运动。他的速度 $v\text{ m/min}$ 由 $v = 25 + 10t - 3t^2$ 给出，其中 $t$ 是离开 $O$ 后的时间（以分钟为单位）。计算当骑行者瞬时静止时的加速度，…
22如图所示为曲线 $y = x^3 + 3x^2 - 2$ 的一部分。直线 $L$ 与曲线相交于 $A(-3, -2)$ ，与 x 轴相交于 $B$ ，并再次与曲线相交于 $C$ 。已知该曲线在点 $B$ 处的切线斜率为 $-3$ ，求点 $B$ …
23求 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x \cos 2x)$ 。求 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2 \sin 2x)$ 。利用第 (i) 和 (ii) 部分的结果，求 $\int x^2 \cos 2x \text{ d}x$ …
24图示为曲线 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1} {2}\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ 的一部分，且 $P(3,\,2.25)$ 是该曲线上的一点。利用微积分，写出完整的计算过程，判断…
25已知 $y = e^x (1+\cos x)$ ，证明 $\dfrac{dy}{dx} = e^x (1+\cos x - \sin x)$ 。由此，求 $\displaystyle \int e^x (\cos x - \sin x)\,dx$ …
26图示为当 $0 \le x \le \pi$ 时，曲线 $y = \cos x + \sin x$ 。该曲线与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ 。证明点 $B$ 的 $x$ 坐标为 $\frac{3\pi}{4}$ 。…
27图中显示了曲线 $y = \frac{15}{(0.5x+1)}$ 的一部分和一条直线 $y = 1.25x - 10$ 。该直线与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，与 $x$ 轴相交于点 $Q$ ，与曲线相交于点 $R$ 。求 $P$ 和 $Q$ …
28求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(3x^{2}\ln x\right)$ 。由此求出 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 。图中显示了直线 $x = 2$ 和曲线 $y = x\ln x$ …
29图中显示了曲线 $y = \frac{5}{2x - 1}$ 的一部分。直线 $9y = -10x + 55$ 与该曲线相交于点 $A$ 和 $B$ ，并与 $x$ 轴相交于点 $C$ 。 $CD$ 是与 $y$ 轴平行的直线。求点 $A$ 、 $B$ …
30一条曲线满足 $\mathrm{f}''(x) = 6x - 10$ 。曲线 $y = \mathrm{f}(x)$ 在点 $(1, -2)$ 处的切线通过点 $(0, 13)$ 。求该曲线的方程。
31质点 $P$ 沿直线运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = 4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right) - 1$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 O 后的时间（以秒为单位）。求： $P$ 的初速度，加速度首次达…
32将 $\frac{13x - 6}{x^2(2x - 3)}$ 化为部分分式。由此求出 $\int \frac{13x - 6}{x^2(2x - 3)} \, dx$ 。
33已知一曲线满足 $\frac{d^2y}{dx^2} = 36e^{3x} - e^{-x}$ 。该曲线与 $y$ 轴交于点 $Q(0, 5)$ ，且曲线在点 $Q$ 处的切线斜率为 14。求该曲线的方程。
34一个沿直线运动的质点，以 $4\text{ m/s}$ 的速度通过一个固定点 $O$ 。在通过 $O$ 点 $t$ 秒后，其加速度为 $(6t - 8)\text{ m s}^{-2}$ 。求质点的最小速度，质点第一次达到瞬时静止的时间，…
35求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl((2x-3)e^{2x}\bigr)$ 。由此计算 $\displaystyle\int_0^1 4xe^{2x}\,\mathrm{d}x$ 的值，结果用精确…
36求 $x \sin x + \cos x$ 对 $x$ 的导数。证明 $\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( \frac{1}{3} x \sin^3 x \right) = \frac{1}{3} \sin^3 x - x \cos^3 x + x \cos x$ …
37已知 $y = (x + 2)\sqrt{x - 1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{kx}{2\sqrt{x - 1}}$ ，其中 $k$ 为常数。由此已知 $y$ 以每秒 2 个单位…
38求 $\frac{4}{x^2} - \frac{3}{1 - 5x} + \sin 5x - \pi$ 关于 $x$ 的积分。
39一条曲线的方程为 $y = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \tan x \sec x - \sec^2 x$ 。由此求出 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \sec x \, dx$ …
40已知一条曲线满足 $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 4 - 3x$ ，且点 $P(2,5)$ 在该曲线上。该曲线在点 $P$ 处的斜率为 2。求该曲线的方程。
41将 $\frac{3x^2 - 4}{x^2(3x - 2)}$ 表示为部分分式。由此，求 $\int \frac{3x^2 - 4}{x^2(3x - 2)} \, dx$ 的值。
42已知某曲线满足 $\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} = 3x - 2$ 。该曲线在点 $A(4, -40)$ 处的切线平行于直线 $3x - y = 2$ 。求该曲线的方程。
43图中显示了曲线 $y=(9-x)(x-3)$ 的一部分以及直线 $y=k-3$ （其中 $k>3$ ）。过曲线最高点且平行于 y 轴的直线与 x 轴交于 A 点。曲线与 x 轴交于 B 点，直线 $y=k-3$ 与曲线交于点 $C(k,\,k-3)$ …
44求 $\left(x - \frac{5}{2x}\right)^2$ 关于 $x$ 的积分。
45将 $\frac{2x^3 + x^2 + x}{(x-1)(x^2 + 1)}$ 化为部分分式。求 $\ln(x^2 + 1)$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int \frac{2x^3 + x^2 + x}{(x-1)(x^2 + 1)} \, dx$ …
46 $f(x)$ 满足 $f''(x) = 18x - 4$ 。已知 $f(0) = 1$ 且 $f(2) = 9$ ，求 $f(x)$ 。证明 $x + 1$ 是一个因式。解方程 $f(x) = 0$ 。
47求 $\left(\frac{6}{e^{3-x}}\right)^2$ 对 $x$ 的积分。写出计算过程，解释为什么方程 $2x^3 + 3x^2 + 2x + 8 = 0$ 只有 1 个实根。由此求出该根。
48一个质点 $X$ 沿直线运动，在离开定点 $O$ 之后 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = \frac{1}{2}t^2 - t - 4$ 给出。计算当速度最小时，质点 $X$ 的位移。求质点改变运动方向的时刻。求在前…
49证明 $\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x^4}\right) = \frac{1}{x^5} - \frac{4\ln x}{x^5}$ 。已知曲线 $y = \mathrm{f}(x)$ 穿过点 $\left(1, \frac{3}{4}\right)$ …
50图中的图象显示了在 $0 \le x \le \frac{3}{2}\pi$ 弧度范围内的曲线 $y = 4 - 2\cos 2x$ 以及一条通过点 $P$ 和 $R$ 的直线。 $P$ 的坐标为 $(0, -1)$ ，且 $R$ 是曲线的一个…
51一曲线的斜率函数为 $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} + 6 \cos 3x$ 。曲线上的点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 。存在一点 $Q$ 使得 $PQ$ …
52一个质点沿直线运动，在经过定点 $O$ 之后 $t$ 秒，其加速度 $a\text{ ms}^{-2}$ 由 $a = -12e^{2t}$ 给出。初始速度为 $9\text{ ms}^{-1}$ 。证明该质点在 $t = \frac{1}{2}\ln\frac{15}{6}$ …
53证明 $\frac{d}{dx}\left[x(3x-2)^{\frac{4}{3}}\right] = (7x-2)(3x-2)^{\frac{1}{3}}$ 。由此求 $\int x(3x-2)^{\frac{1}{3}} dx$ 的值…
54对 $\frac{8}{2x-1} + \frac{4}{x^3} + 1$ 关于 $x$ 进行积分。
55将 $\frac{10x}{3-5x}$ 表示为 $a + \frac{b}{3-5x}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。由此，求 $\frac{10x}{3-5x}$ 关于 $x$ 的积分。
56利用多项式长除法，计算 $4x^3 + 5x^2 + x - 1$ 除以 $x^2 (x+1)$ 。由此，将 $\dfrac{4x^3 + 5x^2 + x - 1}{x^2 (x+1)}$ 分解为部分分式。由此，求出 $\displaystyle \int \frac{4x^3 + 5x^2 + x - 1}{x^2 (x+1)}\,dx$ …
57一个质点沿直线运动，通过固定点 $O$ 之后 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 22 + 7t - 2t^2$ 给出。质点在 $P$ 处瞬时静止。求：加速度为零时质点的速度，质点在 $P$ 处时的 $t$ 值，距离…
58图中显示了曲线 $y = x(x-2)^2$ 的一部分，该曲线过点 $P(1, 1)$ 。证明 $OP$ 的方程为 $y = x$ 。证明 $OP$ 是曲线在点 $P$ 处的法线。求由曲线与直线 $OP$ 所围成的阴影区域的面积。
59曲线 $y = \text{f}(x)$ 满足 $\text{f}''(x) = 12\text{e}^{3x} + 7$ ，且点 $A\left(0, -\frac{2}{3}\right)$ 在该曲线上。曲线在点 $A$ 处的斜率为 9…
60已知一条曲线满足 $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{(7 - 2x)}$ ，且 $P(3, 1)$ 是该曲线上的一个点。求该曲线的方程。