求 (x−52x)2\left(x - \frac{5}{2x}\right)^2 关于 xx 的积分。

常见积分公式多项式乘法与除法English
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完整解法

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1. Expand the integrand

(x−52x)2=x2−2(x)(52x)+(52x)2\left(x - \frac{5}{2x}\right)^2 = x^2 - 2(x)\left(\frac{5}{2x}\right) + \left(\frac{5}{2x}\right)^2
=x2−5+254x2= x^2 - 5 + \frac{25}{4x^2}

2. Rewrite the expression with negative indices for integration

=x2−5+254x−2= x^2 - 5 + \frac{25}{4}x^{-2}

3. Integrate term by term

∫(x2−5+254x−2)dx\int \left(x^2 - 5 + \frac{25}{4}x^{-2}\right) dx
=x33−5x+254(x−1−1)+c= \frac{x^3}{3} - 5x + \frac{25}{4}\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) + c
=x33−5x−254x+c= \frac{x^3}{3} - 5x - \frac{25}{4x} + c

答案

x33−5x−254x+c\frac{x^3}{3} - 5x - \frac{25}{4x} + c

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